常微分方程复习

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,常微分方程,复习课,一、恰当方程,定义1.对称形式的一阶微分方程,如果存在一个可微函数,f,(x,y)，使得：,称该方程为恰当方程（或全微分方程）,通解：,作业：P30:1,.(1,4,7),2,.(1,3,5),二、变量分离方程,一阶微分方程，可化为形式：,称为,可分离变量,的微分方程.,作业：P45：1(1,3),一阶线性微分方程,的标准形式:,三、一阶线性微分方程,通解为,1.齐次方程,(使用分离变量法),2.非齐次方程,常数变易法,作业：P36:1.,2.,四、伯努利方程,作业：P45:1(4),五、积分因子法,只与,x,有关的积分因子,m,(,x,),只与,y,有关的积分因子,m,(,y,),作业：P51:1.,六、一阶隐式微分方程,I、可以解出,y,（或,x,）,的微分法,II、不含变量,x,（或,y,）的参数法,作业：P106:1(1,3);2(2,4),七、可降阶的高阶微分方程,特点：,方程不含未知函数,y,本身,方法：,特点：,方程不显含自变量,x,方法：,特点：,左边是一导数，右端只与自变量有关,1.齐次方程解的线性结构,八、线性微分方程的解的结构,2.齐次线性方程求线性无关特解,刘维尔公式,齐次方程通解为,解组的郎斯基行列式,线性无关,刘维尔公式,2.非齐次线性方程通解求法-常数变易法,设对应齐次方程通解为,设非齐次方程有特解：,九、常系数齐次线性方程的特征方程法,特征根的情况,通解的表达式,实根,2,1,r,r,实根,2,1,r,r,=,复根,b,a,i,r,=,2,1,x,r,x,r,e,C,e,C,y,2,1,2,1,+,=,x,r,e,x,C,C,y,2,),(,2,1,+,=,),sin,cos,(,2,1,x,C,x,C,e,y,x,b,b,a,+,=,设非齐方程特解为,十、常系数非齐次线性方程的待定系数法,解,作辅助方程,代入上式,所求非齐方程特解为,原方程通解为,（取虚部）,例,十一、欧拉方程,