相似理论与因次分析

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第五章 相似理论与因次分析,流体力学的研究方法中实验研究既是理论分析的依据，同时也是检验理论的准绳，具有很重要的作用。,本章将探讨其理论基础：,相似理论 因次分析,10.1,力学相似性原理,10.2,相似准数,10.3,模型率,10.,4,因次分析法,10.1,相似理论,为,使,模型流动能表现出实型流动的主要现象和特性，并从模型流动上预测出实型流动的结果，就必须使两者在流动上相似，即两个互为相似流动的对应部位上对应物理量都有一定的比例关系。,具体来说，两相似流动应,几何相似、运动相似、动力相似,。,两流动相似应满足的条件,一 几何相似（空间相似）,定义：两流动的,对应边长,成同一比例，对应角相等。,引入尺度比例系数,进而，面积比例系数,体积比例系数,模型流动用下标,m,表示,原型流动用下标,p,表示,二 运动相似（时间相似）,定义：两流动的对应点上的流体,速度矢,成同一比例。,引入速度比例系数,由于,因此,运动相似建立在几何相似基础上，那么,运动相似只需确定时间比例系数 就可以,了。运动相似也就被称之为时间相似。,运动学物理量的比例系数都可以表示为尺度比例系数和时间比例系数的不同组合形式。,如：,k,v,=k,l,k,t,-1,k,a,=k,l,k,t,-2,k,=k,t,-1,k,=k,l,2,k,t,-1,kq,=k,l,3,k,t,-1,的单位是,m,2,/s,q,的单位是,m,3,/t,三 动力相似（受力相似）,定义：两流动的对应部位上,同名力矢,成,同一比例。引入力比例系数,也可写成,力学物理量的比例系数可以表示为密度、,尺度、速度比例系数的不同组合形式，如：,力矩,M,压强,p,功率,N,动力粘度,综上所述，要使模型流动和原型流动相,似，需要两者,在,时空相似的条件下受力相,似,。,动力相似（受力相似）用相似准则（相,似准数）的形式来表示，即：要使模型流,动和原型流动动力相似，需要这两个流动,在时空相似的条件下各相似准则都相等。,1,Strouhal,相似准数,Sr,=,l/vt,表示时变惯性力和位变惯性力之比，反映了流体运动随时间变化的情况,2,Froude,相似准数,Fr=v,2,/gl,表示惯性力和重力之比，反映了流体流动中重力所起的影响程度,3,Euler,相似准数,Eu,=p/,v,2,表示压力和惯性力的比值,4,Renolds,相似准数,Re=,vl,/,=,vl,/,表示惯性力和粘性力之比,5,Mach,相似准数,Ma=v/c,表示弹性力和惯性力之比，,c,为声速，反映了流动的压缩程度,10.2,相似准数,描述流体运动和受力关系的是流体运动微分方程，两流动要满足相似条件就必须同时满足该方程，下面是模型流动和原型流动不可压缩流动的运动微分方程在,x,方向上的分量形式,:,(1),(2),所有的同类物理量均具有各自的同一比例系数，有如下关系式：,x,m,=,x,p,k,l,y,m,=,y,p,k,l,z,m,=,z,p,k,l,v,xm,=,v,xp,k,v,v,ym,=,v,yp,k,v,v,zm,=,v,zp,k,v,t,m,=,t,p,k,t,m,=,p,k,m,=,p,k,p,m,=,p,p,k,p,f,m,=,f,p,k,f,将上述关系式带进方程（,1,）中，这时的方程应该和方程（,2,）相同，因此得到,（,3,）,从左到右分别表示单位质量的时变惯性力、位变惯性力、,质量力、压力和摩擦力，（,3,）式表示模型流动和原型流,动的力多边形相似。,用（,3,）中的位变惯性力项除全式，得到,（,4,）,（,4,）式表示模型流动和原型流动在满足动力相似时各比,例系数之间有一个约束，对各项进一步分析得到以下相,似准则,综上所述，动力相似可以用相似准数表示，若原型和模型流动动力相似，各同名相似准数均相等，如果满足则称为完全的动力相似。但是事实上，不是所有的相似准数之间都是相容的，满足了甲，不一定就能满足乙。如果所有的相似准数都相等，意味着,各比例系数,均等于,1,，这实际上意味着模型流动和原型流动各对应参数均相等，模型流动和原型流动就成为了相等流动。因此，要使两者达到完全的动力相似，实际上办不到，我们寻求的是,主要动力相似,。,要达到主要动力相似就应该根据所研究或所需解决的原型流动的性质来决定，如对于重力起支配作用的流动，选用,Froude,准数为主要相似准数（,决定性相似准,数,），满足,Fr,m,=,Fr,p,，,此外,管道流动，流体机械中的流动：,Re,m,=Re,p,，,Re,数为决定性相似准数,非定常流动：,Sr,m,=,Sr,p,，,Sr,数为决定性相似准数,可压缩流动,：,Ma,m,=Ma,p,，,Ma,数为决定性相似准数,总之，,根据流动的性质来选取决定性相似准数,决定性相似准数的定义,：,对该性质的流动以该决定性相似准数来判断是否,满足了主要动力相似。,只要满足了决定性相似准数相等后，就满足,了主要动力相似，抓住了解决问题的实质。,（注意：对于,Eu,准数而言，在其他相似准数作为决定性相似准数满足相等时，,Eu,准数同时可以满足）,10.,3,模型率,1,模型流动设计,设计模型流动，要使之成为原型流动的相似流动，原则上要满足几何相似、运动相似和主要动力相似。具体设计时，首先要考虑该流动性质选择决定性相似准数，此外还要考虑实验规模和实验室的条件以及实验时所采用的流体是否与原型流动中的流体相同且是否同一温度等因素。,2,数据换算,从模型流动实验中测定的各个数据不能直接用到原型流动中去，需要用到数据换算。由模型流动中已确定的一些比例系数以及物理量之间的关系来确定其他一些比例系数，这样，原型流动中所要获得的数据就等于模型流动中的相应数据除以对应的比例系数。,例,1,有,一,轿车，,高,h=1.5m,，,在公路上行驶，设计时速,v=108km/h,，,拟通过风洞中模型实验来确定此轿车在公路上以此速行驶时的空气阻力。已知该风洞系低速全尺寸风洞,(,k,l,=2/3),，,并假定风洞试验段内气流温度与轿车在公路上行驶时的温度相同，试求：风洞实验时，风洞实验段内的气流速度应安排多大？,解：,首先根据流动性质确定决定性相似准数,，这里选取,Re,作为决定性相似准数,，,Re,m,=Re,p,，即,k,v,k,l,/k,=1,，,再根据决定型相似准数相等，确定几个比例系数的相互约束关系,，这里,k,=1,，,所以,k,v,=k,l,-1,，,由于,k,l,=l,m,/,l,p,=2/3,，,那么,k,v,=,v,m,/v,p,=1/k,l,=3/2,最后得到风洞实验段内的气流速度应该是,v,m,=,v,p,k,v,=1083/2=162km/h=45m/s,例,2,在,例,1,中，通过风洞模型实验，获得模型轿车在风洞实验段中的风速为,45m/s,时，空气阻力为,1000N,，,问：此轿车以,108km/h,的速度在公路上行驶时，所受的空气阻力有多大？,解：在设计模型时，定下,k,=1,k,l,=2/3,k,v,=3/2,在相同的流体和相同的温度时，流体密度比例系数,k,=1,，,那么力比例系数,k,F,=k,k,l,2,k,v,2,=1(2/3),2,(3/2),2,=1,因此，该轿车在公路上以,108km/h,的速度行驶所遇到的空气阻力,F,p,=F,m,/,k,F,=1000/1=1000N,10.,4,因次分析法,一 因次分析的基本概念,二 因次和谐性原理,三 布金汉（,Buckingham,）,定理,一 因次分析的基本概念,1,因次,是物理量的,单位种类,，又称量刚，如长度、宽度、高,度、深度、厚度等都可以用米、英寸、公尺等不同单位,来度量，但它们属于同一单位，即属于同一单位量纲,（长度量纲），用,L,表示。,2,基本因次 导出因次,基本因次是具有独立性的因次，在流体力学领域中有,三个基本因次：,长度因次,L,时间因次,T,质量因次,M,导出因次由基本因次组合表示，如,加速度的因次,a=LT,-2,力的因次,F=ma=MLT,-2,任何物理量,B,的因次可写成,B=M,L,T,用,表示物理量的量纲，用（）表示物理量的单位,3,基本量 导出量,一个物理问题中诸多的物理量分成基本物理量（基本,量）和其他物理量（导出量），后者可由前者通过某种,关系到除，前者互为独立的物理量。,基本量个数取基本,因次个数，所取定的基本量必须包括三个基本因次在内，,这就是选取基本量的原则,。,如,、,v,、,l,可以构成一组基本量，包含了,L,、,M,、,T,这三个基本量纲，而,a,、,v,、,l,就不能构成基本量，因为不,包含基本因次,M,4,无因次量,指该物理量的因次为,1,，,用,L,0,M,0,T,0,表示，实际是一个,数，但与单纯的数不一样，它是几个物理量组合而成的,综合物理量，如前面讲过的相似准数,二 因次和谐性原理,因次,和谐性原理,又被称为,因次,一致性原理，也叫因次,齐次性原理,，指一个物理现象或一个物理过程用一个物,理方程表示时，方程中每项的因次应该是和谐的、一致,的、齐次的。,一个正确的物理方程，式中的每项的因次应该一样，,以能量方程为例,方程左边各项的因次从左到右依次为 、,三 布金汉（,Buckingham,）,定理,对于某个物理现象或过程，如果存在有,n,个变量互为,函数关系，,f(a,1,a,2,a,n,)=0,而这些变量含有,m,个基本因次，可把这,n,个变量转换成为,有,(n-m)=i,个无因次量的函数关系式,F(,1,2,n-m,)=0,这样可以表达出物理方程的明确的因次关系，并把方程,中的变量数减少了,m,个，更为概括集中表示物理过程或,物理现象的内在关系。,例 经初步分析知道，在水平等直径圆管道内流体流动的压降,p,与下列因素有关：管,径,d,、,管长,l,、,管壁粗糙度、管内流体密度、流体的动力粘度，以及断面平均流速,v,有关。试用定理推出压降,p,的表达形式。,解：所求解问题的原隐函数关系式为,f(p,d,l,v)=0,有量纲的物理量个数,n=7,，,此问题的基本量纲有,L,、,M,、,T,三个，,m=3,，,按定理，这,n,个变量转换成有,n-m=4,个无量纲量的函数关系式,F(,1,2,3,4,)=0,从,7,个物理量中选出基本物理量,3,个，如取,、,d,、,v,，,而,其余物理量用基本物理量的幂次乘积形式表示,1,=l,1,v,1,d,1,2,=,2,v,2,d,2,3,=,3,v,3,d,3,4,=p,4,v,4,d,4,将上述表达式写成量纲形式,1,=L(ML,-3,),1,(LT,-1,),1,L,1,=M,0,L,0,T,（,1,）,2,=L(ML,-3,),2,(LT,-1,),2,L,2,=M,0,L,0,T,0,（,2,）,3,=ML,-1,T,-1,(ML,-3,),3,(LT,-1,),3,L,3,=M,0,L,0,T,0,（,3,）,4,=ML,-1,T,-2,(ML,-3,),4,(LT,-1,),4,L,4,=M,0,L,0,T,0,(4,）,求解方程（,1,）,M:,1,=0,T:,1,=0,L:-3,1,+,1,+,1,+1=0 ,1,=-1,所以,1,=l/d,求解方程（,2,）,M:,2,=0,T:,2,=0,L:1-3,2,+,2,+,2,=0 ,2,=-1,所以,2,=/d,求解方程（,3,）,M:1+,3,=0 ,3,=-1,T:-1-,3,=0 ,3,=-1,L:-1-3,3,+,3,+,3,=0 ,3,=-1,所以,3,=/,vd,=1/Re,求解方程（,4,）,M:,1+,4,=0 ,4,=-1,T:-2-,4,=0 ,4,=-2,L:-1-3,4,+,4,+,4,=0 ,4,=0,所以,4,=p/v,2,因此，所解问题用无量纲数表示的方程为,F(l/d,/d,1/Re,p/v,2,)=0,至此，问题求解结束，进一步对上式整理规范