课时离散型随机变量的均值与方差、正态分布

第,5,课时 离散型随机变量的均值,与方差、正态分布,1,均值,(1),若离散型随机变量,X,的分布列为,基础知识梳理,X,x,1,x,2,x,i,x,n,P,p,1,p,2,p,i,p,n,则称,EX,为随机变量,X,的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的,(2),若,Y,aX,b,，其中,a,，,b,为常数，则,Y,也是随机变量，且,E,(,aX,b,),.,(3),若,X,服从两点分布，则,EX,；,若,X,B,(,n,，,p,),，则,EX,.,基础知识梳理,x,1,p,1,x,2,p,2,x,i,p,i,x,n,p,n,平均水平,aEX,b,p,np,2,方差,(1),设离散型随机变量,X,的分布列为,基础知识梳理,X,x,1,x,2,x,i,x,n,P,p,1,p,2,p,i,p,n,(2),D,(,aX,b,),.,(3),若,X,服从两点分布，则,DX,(4),若,X,B,(,n,，,p,),，则,DX,基础知识梳理,X,np,(1,p,),p,(1,p,),a,2,DX,基础知识梳理,思考？,随机变量的均值、方差与样本均值、方差的关系是怎样的？,【,思考,提示,】,随机变量的均值、方差是一个常数，样本均值、方差是一个随机变量，随观测次数的增加或样本容量的增加，样本的均值、方差趋于随机变量的均值与方差,3,正态曲线的特点,(1),曲线位于,x,轴,，与,x,轴,；,(2),曲线是单峰的，它关于直线,对称；,(3),曲线在,x,处达到峰值,；,(4),曲线与,x,轴之间的面积为,；,基础知识梳理,上方,不相交,x,1,(5),当,一定时，曲线随着,的变化而沿,x,轴平移；,(6),当,一定时，曲线的形状由,确定,，曲线越,“,瘦高,”,，表示总体的分布越,；,，曲线越,“,矮胖,”,，表示总体的分布越,基础知识梳理,越小,集中,越大,分散,基础知识梳理,思考？,参数,，,在正态分布中的实际意义是什么？,【,思考,提示,】,是正态分布的期望，,是正态分布的标准差,1,若随机变量,X,的分布列如下，则,X,的数学期望是,(,),A.,p,B,q,C,1 D,pq,答案,：,B,三基能力强化,X,0,1,P,p,q,2,正态总体,N,(0,1),在区间,(,2,，,1),和,(1,2),上取值的概率为,P,1,，,P,2,，则,(,),A,P,1,P,2,B,P,1,P,2,C,P,1,P,2,D,不确定,答案,：,C,三基能力强化,3,一名射手每次射击中靶的概率为,0.8,，则独立射击,3,次中靶的次数,X,的期望值是,(,),A,0.8,3,B,0.8,C,2.4 D,3,答案,：,C,三基能力强化,4,(,教材习题改编,),某人进行射击，每次中靶的概率均为,0.8,，现规定：若中靶就停止射击；若没有中靶，则继续射击如果只有,3,发子弹，则射击次数,X,的数学期望为,_,(,用数字作答,),答案,：,1.24,三基能力强化,5,(2009,年高考广东卷,),已知离散型随机变量,X,的分布列如下表若,EX,0,，,DX,1,，则,a,_,，,b,_.,三基能力强化,关于正态总体在某个区间内取值的概率求法,(1),熟记,P,(,X,),，,P,(,2,X,2,),，,P,(,3,X,3,),的值,(2),充分利用正态曲线的对称性和曲线与,x,轴之间的面积为,1.,课堂互动讲练,考点一,正态分布,课堂互动讲练,例,1,设,X,N,(5,1),，求,P,(6,X,7),【,思路点拨,】,利用正态分布的对称性，,P,(6,X,7),P,(3,X,4),课堂互动讲练,【,解,】,由已知,5,，,1.,P,(4,X,6),0.6826,，,P,(3,X,7),0.9544.,P,(3,X,4),P,(6,X,7),0.9544,0.6826,0.2718.,如图，由正态曲线的对称性可得,P,(3,X,4),P,(6,X,7),【,名师点评,】,在利用对称性转化区间时，要注意正态曲线的对称轴是,x,，而不是,x,0(,0),课堂互动讲练,若其他条件不变，则,P,(,X,7),及,P,(5,X,6),应如何求解？,课堂互动讲练,互动探究,解,：由,1,，,5,，,P,(3,X,7),P,(5,21,X,5,21),0.9544,，,课堂互动讲练,求离散型随机变量,X,的均值与方差的步骤：,(1),理解,X,的意义，写出,X,的所有可能取值；,(2),求,X,取每个值的概率；,(3),写出,X,的分布列；,(4),由均值的定义求,EX,；,(5),由方差的定义求,DX,.,另外，当随机变量,X,服从两点分布或二项分布时，可不用列出分布列，直接由公式求出,EX,和,DX,.,课堂互动讲练,考点二,求离散型随机变量的期记与方差,课堂互动讲练,例,2,(2009,年高考山东卷,),在某学校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投,3,次；在,A,处每投进一球得,3,分，在,B,处每投进一球得,2,分；如果前两次得分之和超过,3,分即停止投篮，否则投第三次某同学在,A,处的命中率,q,1,为,0.25,，在,B,处的命中率为,q,2,.,该同学选择先在,A,处投一球，以后都在,B,处投，用,表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为,课堂互动讲练,0,2,3,4,5,P,0.03,p,1,p,2,p,3,p,4,(1),求,q,2,的值；,(2),求随机变量,的数学期望,E,；,(3),试比较该同学选择都在,B,处投篮得分超过,3,分与选择上述方式投篮得分超过,3,分的概率的大小,课堂互动讲练,【,思路点拨,】,首先由,P,(,0),0.03,计算出,q,2,，从而可写出分布列本题便可求解,【,解,】,(1),由题设知，,“,0”,对应的事件为,“,在三次投篮中没有一次投中,”,，由对立事件和相互独立事件性质可知,P,(,0),(1,q,1,)(1,q,2,),2,0.03,，解得,q,2,0.8.,(2),根据题意,p,1,P,(,2),(1,q,1,)C,2,1,(1,q,2,),q,2,0.7520.20.8,0.24.,p,2,P,(,3),q,1,(1,q,2,),2,0.25(1,0.8),2,0.01.,p,3,P,(,4),(1,q,1,),q,2,2,0.750.8,2,0.48.,p,4,P,(,5),q,1,q,2,q,1,(1,q,2,),q,2,0.250.8,0.250.20.8,0.24.,因此,E,00.03,20.24,30.01,40.48,50.24,3.63.,课堂互动讲练,(3),用,C,表示事件,“,该同学选择第一次在,A,处投，以后都在,B,处投，得分超过,3,分,”,，用,D,表示事件,“,该同学选择都在,B,处投，得分超过,3,分,”,，则,P,(,C,),P,(,4),P,(,5),p,3,p,4,0.48,0.24,0.72.,P,(,D,),q,2,2,C,2,1,q,2,(1,q,2,),q,2,0.8,2,20.80.20.8,0.896.,故,P,(,D,),P,(,C,),即该同学选择都在,B,处投篮得分超过,3,分的概率大于该同学选择第一次在,A,处投以后都在,B,处投得分超过,3,分的概率,课堂互动讲练,【,名师点评,】,(1),随机变量的均值等于该随机变量的每一个取值与该取值时对应的概率乘积的和,(2),均值,(,数学期望,),是随机变量的一个重要特征数，它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平，均值,(,数学期望,),是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均,(3),EX,是一个实数，即,X,作为随机变量是可变的，而,EX,是不变的,课堂互动讲练,利用均值和方差的性质，可以避免复杂的运算常用性质有：,(1),EC,C,(,C,为常数,),；,(2),E,(,aX,b,),aEX,b,(,a,，,b,为常数,),；,(3),E,(,X,1,X,2,),EX,1,EX,2,；,E,(,aX,1,bX,2,),aE,(,X,1,),bE,(,X,2,),；,(4),D,(,aX,b,),a,2,DX,.,课堂互动讲练,考点三,均值和方差性质的应用,课堂互动讲练,例,3,已知,X,的概率分布为,求：,(1),EX,，,DX,；,(2),设,Y,2,X,3,，求,EY,，,DY,.,课堂互动讲练,【,思路点拨,】,利用性质,E,(,a,b,),aE,b,，,D,(,a,b,),a,2,D,求解,【,名师点评,】,是一个随机变量，则,f,(,),一般仍是一个随机变量，在求,的期望和方差时，要应用期望和方差的性质,课堂互动讲练,利用期望和方差比较随机变量的取值情况，一般是先比较期望，期望不同时，即可比较出产品的优劣或技术水平的高低，期望相同时，再比较方差，由方差来决定产品或技术水平的稳定情况,课堂互动讲练,考点四,均值与方差的实际应用,课堂互动讲练,例,4,(,解题示范,)(,本题满分,12,分,),(2008,年高考广东卷,),随机抽取某厂的某种产品,200,件，经质检，其中有一等品,126,件、二等品,50,件，三等品,20,件、次品,4,件已知生产,1,件一、二、三等品获得的利润分别为,6,万元、,2,万元、,1,万元，而,1,件次品亏损,2,万元，设,1,件产品的利润,(,单位：万元,),为,.,课堂互动讲练,(1),求,的分布列；,(2),求,1,件产品的平均利润,(,即,的数学期望,),；,(3),经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为,1%,，一等品率提高为,70%,，如果此时要求,1,件产品的平均利润不小于,4.73,万元，则三等品率最多是多少？,课堂互动讲练,【,思路点拨,】,解答本题要先确定,的取值以及取每个值时的概率，从而正确地列出分布列求出数学期望,(,即平均利润,),，然后解第,(3),问时，先设出三等品率为,x,，列不等式即可求解,【,解,】,(1),的所有可能取值有,6,2,1,，,2,；,课堂互动讲练,故,的分布列为,课堂互动讲练,6,2,1,2,P,0.63,0.25,0.1,0.02,5,分,(2),E,60.63,20.25,10.1,(,2)0.02,4.34.7,分,课堂互动讲练,(3),设技术革新后的三等品率为,x,，,则此时,1,件产品的平均利润为,Ex,60.7,2(1,0.7,0.01,x,),x,(,2)0.01,4.76,x,(0,x,0.29),，,9,分,依题意，,Ex,4.73,，,即,4.76,x,4.73,，,解得,x,0.03.,所以三等品率最多为,3%.12,分,【,名师点评,】,解决此类题目的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，求得该事件发生的概率，本题第,(3),问充分利用了分布列的性质,p,1,p,2,p,i,1.,课堂互动讲练,(,本题满分,12,分,),因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果树的方案，每种方案都需分两年实施若实施方案一，预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的,1.0,倍、,0.9,倍、,0.8,倍的概率分别是,0.3,、,0.3,、,0.4,；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的,1.25,倍、,1.0,倍的概率分别是,0.5,、,0.5.,若实,课堂互动讲练,高考检阅,施方案二，预计第一年可以使柑桔产量达到灾前的,1.2,倍、,1.0,倍、,0.8,倍的概率分别是,0.2,、,0.3,、,0.5,；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的,1.2,倍、,1.0,倍的概率分别是,0.4,、,0.6.,实施每种方案第一年与第二年相互独立，令,i,(,i,1,2),表示方案,i,实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数,(1),写出,1,、,2,的分布列；,课堂互动讲练,(2),实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？,(3),不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到、恰好达到、超过灾前产量，预计利润分别为,10,万元