双曲线的简单性质

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三章,圆锥曲线与方程,双曲线的简单性质,3.2,让我们一起研究：,标准方程为:,的双曲线的性质。,1、对称性,F,2,F,1,O,x,y,双曲线关于,y,轴对称。,F,2,F,1,O,x,y,双曲线关于,x,轴对称。,A,2,A,1,A,2,F,2,F,1,O,x,y,双曲线,关于,原点,对称。,F,2,F,1,O,x,y,1、对称性,双曲线关于,y,轴、,x,轴、原点对称。,为什么？,F,2,F,1,O,A,1,A,2,x,y,2、范围,横坐标的范围,：,从而:,x,-,a,或,x,a,由式子 知,x,-,a,或,x,a,所以,3、顶点,O,B,2,B,1,A,1,A,2,x,y,可得,x=,a,从而：,A,1,(-a,0),A,2,(a,0),也把,B,1,(0,-b),B,2,(0,b),画在,y,轴上,在 中令,y=0,，,为双曲线的,顶点,3、顶点,O,B,2,B,1,A,1,A,2,x,y,线段A,1,A,2,叫双曲线的,实轴,;,线段B,1,B,2,叫双曲线的,虚轴,。,长为,2,a,长为,2,b,4、离心率,上面双曲线的形状有什么变化？,怎样刻画它们的扁平程度？,O,A,1,A,2,y,4、离心率,双曲线的焦距与长轴长的比 称为双曲线的,离心率,，用,e,表示，即,O,A,1,A,2,y,e变大，双曲线的形状会怎样变化?,5、渐近线,O,B,2,B,1,A,1,A,2,x,y,红色虚框的两条对角线，为双曲线的,渐近线,a,b,其方程为,一般结论：,双曲线 的渐近线为,练习1、计算下列双曲线的渐近线：,你能发现什么规律吗？,双曲线的几何性质,让我们一起来归纳一下,双曲线方程,范 围,对称性,顶 点,渐近线,离心率,关于,x,轴、,y,轴、原点对称,(,-,a,0),(,a,0),(0,-,a,),(0,a,),例1、求双曲线 的实半轴长,虚半轴长,焦点坐标,离心率.渐近线方程。,解：把方程化为标准方程：,可得:实半轴长,a,=4,虚半轴长,b,=3,半焦距,c,=,焦点坐标是(0,-,5),(0,5),离心率:,渐近线方程:,练习1、求下面双曲线的范围，顶点坐标，焦点坐标，实轴长，虚轴长，焦距，离心率，渐近线方程。,9,x,2,-,y,2,=81,焦点坐标是,顶点坐标是(,-,3,0),(3,0),(0,-,9),(0,9),实轴长2,a,=6，,虚轴长2,b,=18，,焦距2,c,=,离心率,e,=,渐近线方程:,练习2：求适合下列条件的双曲线的,标准方程。,(1)实轴在,x,轴上,离心率,e,=,b,=2,(3)过点(-1,3)和双曲线,有共同的渐近线。,(2)过点(3,4)且虚轴长为实轴长的2倍,(1)实轴在,x,轴上,离心率,e,=,b,=2,(2)过点(3,4)且虚轴长为实轴长的2倍,或,(3)过点(-1,3)和双曲线,有共同的渐近线。,例2、双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的,一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最,小半径为12m，上口半径为13m，下口半径,为25m，高为55m，试选择适当的坐标系，,求出此双曲线的方程(精确到1m).,x,O,y,B,12,B,A,C,13,A,C,25,解：如图，建立直角坐,标系,xoy,，使小圆的,直径AA,在,x,轴上，,圆心与原点重合，,设双曲线的方程为,令C的坐标为(13,y,),则B的坐标为(25,y,-,55)，,将B、C坐标代入方程得,x,O,y,B,12,B,A,C,13,A,C,25,由方程，得,(负值舍去),x,O,y,B,12,B,A,C,13,A,C,25,代入方程,得,化简得,用计算器解得,b,25，,所以所求双曲线的方程为,例3、点M(,x,y,)到定点F(5,0)的距离和它到,定直线,l,:的距离的比是常数 ，求,点M的轨迹。,解：设,d,是点M到直线,l,的距离，,根据题意，,x,O,y,M,F,H,d,l,所求轨迹就是集合,x,O,y,M,F,H,d,l,由此得,将上式两边平方，并化简得,9,x,2,-16,y,2,=144，,它是一条双曲线。,即,小结,双曲线方程,范 围,对称性,关于,x,轴、,y,轴、原点对称,顶 点,(,-,a,0),(,a,0),(0,-,a,),(0,a,),渐近线,离心率,动画,圆锥曲线的得来,