曲线、曲面积分小结

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第十章曲线、曲面积分小结,一 基本要求,1,理解两类曲线和曲面积分的概念,了解两类积分的性质以及两类积分的关系.,2掌握计算两类曲线、曲面积分的方法.,3掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件.,4.掌握高斯公式,并会用公式求曲面积分.,5会用曲线积分和曲面积分求一些几何量与物理量（弧长,质量,重心,转动惯量,引力、功和流量等）.,二.要点提示,弧微分,设,L,：,（1）对弧长（第一类）,1.曲线积分的计算,化为定积分计算,（2,）对坐标（第二类）,设,L,：,有方向,2,曲面积分的计算,（化为二重积分）,若,（1）对面积（第一类）的曲面积分,向,xoy,面的投影为 则,投影,投影,（2）对坐标（第二类）的曲面积分,若 上侧，则,若 下侧，则,有方向,3.格林公式,-平面上曲线积分与二重积分的关系,4.曲线积分与路径无关的条件,L,取正向.,以及等价关系.,设有界闭区域,D,由分段光滑的曲线,L,围成,5,.高斯公式,曲面积分与三重积分的关系,6.两类积分之间的关系：,的法向量,L,的切向量,曲线:,曲面:,三,.,两类曲线(曲面)积分的典型问题,一般曲线积分化成定积分计算，,一般曲面积分化成二重积分计算，,封闭曲线的积分利用格林公式化为二重积分.,封闭曲面的积分利用高斯公式化为三重积分.,第一类曲线积分的求法,1.基本方法：,由积分曲线的表达式求出,弧微分元素,，,定积分,定限,：下限小于上限.,将积分曲线,代入,被积函数，,2.利用积分性质:,解,3.计算中注意利用对称性:,奇偶性、轮换性,因为积分曲线,L,关于,y,轴对称,，函数 2,x,cos,y,是,例 设,L,为椭圆,其周长为,a,，求,解 原式=,x,的奇函数,，因此有,而,所以,第二类曲线积分的求法,1.基本方法：,由积分曲线的表达式确定定积分的,积分变量,，,将积分曲线,代入,被积表达式，,定积分,定限,：起点对应下限，终点对应上限.,2.利用格林公式,(1)积分曲线为封闭曲线,直接化为二重积分,（满足定理条件）,(2)积分曲线为非封闭曲线,添加曲线(较简单),使之成为封闭曲线,原曲线积分化为一个,二重积分减去在添加曲线上的曲线积分.,记L所围的区域为D，易知,D是边长为,的正方形区域.,例1,设L为,的反时针方向，则,(A)0；(B)2；(C)4；(D)1,解,由已知，,则,由格林公式，得,B,解,为用格林公式,它与,L,所围区域为,D,则,原式,添加辅助线段,原式,3.利用曲线积分与路径无关的条件,(1)改变原积分路径，使得原积分简化.,(2)已知 是某函数的全微分，,求出该函数，即,4.有奇点的曲线积分,例4,设,取逆时针方向，,求,解,取,构造,l：,顺时针,已知,于是，,由格林公式,第一类曲面积分的求法,由积分曲面表达式确定曲面向一坐标面,投影,，,将积分曲面,代入,被积函数，,求出,曲面面积元素,向,xoy,面,投影：,1.基本方法：,2.计算中注意利用对称性:,奇偶性、轮换性,关于,xoy,面对称,，被积函数是,z,的偶函数.,解,由对称性（轮换性）,问题：,第二类曲面积分的求法,上侧取“+”,下侧取“”,对坐标,x,y,的积分：,积分曲面向,xoy,坐标面,投影,，,将积分曲面,代入,被积函数，,由积分曲面的侧确定二重积分的,符号,.,分三项计算,1,.,前侧取“+”,后侧取“”,右侧取“+”,左侧取“”,对坐标,y,z,的积分：,对坐标,x,z,的积分：,2.利用高斯公式,(1)积分曲面为封闭曲面,直接化为三重积分；,(2)积分曲面为非封闭曲面,添加曲面(较简单),使之成为封闭曲面,原曲面积分化为一个,三重积分减去在添加曲面上的曲面积分.,例6,计算,解,曲面,不是封闭曲面,为利用高斯公式,关于,yoz,面对称,，,被积函数关于,x,是奇函数,原式,故所求积分为,3.,坐标转换,下侧,把三个积分合并,只向坐标面,xoy,投影,分析,解,把三个积分合并,只向坐标面,xoy,投影,下侧,4.注意有奇点的曲面积分,例8 求,其中,上侧.,解 设,取,2,为半球面：,则原式,下侧,取,3,为平面,（下侧）：,添加平面：,使 成为封闭曲面的内侧，,原式,由高斯公式,上侧,所包围区域为,两类曲面积分之间的关系,是 的法向量.,