高数导数和积分大全

单击此处编辑母版标题样式,一、基本初等函数导数公式,第一节 求导法则,二、函数的和、差、积、商的求导法则,定理,1.,的,和,、,差、,积,、,商,(,除分母,为,0,的点外,),都在点 可导,且,例：,三、复合函数的求导法则,定理,即,因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量,求导,乘以中间变量对自变量求导,.(,链式法则,),例,例,2,复合函数求导法则可推广到多个中间变量的情形,例如,关键,:,搞清复合函数结构,由外向内逐层求导,.,理论推广,例,3,设,求,解:,练习：求下列函数的导数,第二节 定积分,一、定积分的定义,积分上限,积分下限,被积函数,被积表达式,积分变量,积分和,定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分,变量用什么字母表示无关,即,性质,1,常数因子可提到积分号外,性质,2,函数代数和的积分等于它们积分的代数和。,二、定积分的简单性质,性质,3,若在区间,a,b,上,f(,x,),k,，则,性质,4,定积分的区间可加性,若,c,是,a,b,内的任一点，则,当,a,b,c,的相对位置任意时,例如,则有,则积分上限函数,定理,1.,若,三、牛顿,莱布尼兹公式,定理,1,证明了连续函数的原函数是存在的,.,同时为,通过原函数计算定积分开辟了道路,.,(,牛顿,-,莱布尼兹公式,),记作,定理,2.,函数,则,例,1,、,计算,解,:,例,2,、,设 求,解,例,3,其中,解,:,四、定积分的换元法和,分部积分法,定理,（定积分的换元公式）,设函数,f,(,x,),在,区间,a,b,上,连续；函数,在 上单值且有连续导数；当,时，有 ，且,则,例,1.,计算,解,:,令,则,原式,=,且,例,2.,计算,解,:,令,则,原式,=,且,例,3.,证,:,(1),若,(2),若,偶倍奇零,定理,（定积分的分部积分公式）,设函数,u,(,x,),v,(,x,),在,a,b,上有,连续导数，则,例,4.,计算,解,:,原式,=,第三节 广义积分（反常积分）,引例,.,曲线,和直线,及,x,轴所围成的开口曲,边梯形的面积,可记作,其含义可理解为,定义,1.,设,若,存在,则称此极限为,f,(,x,),在区间 的广义积分,记作,类似地,若,则定义,第三节 广义积分（反常积分）,则定义,(,c,为任意取定的常数,),引入记号,则有类似牛,莱公式的计算表达式,:,例,1.,计算广义积分,解,:,例,2.,计算广义积分,解,:,第五节 二重积分,其中,D,是积分区域,定理 设,在矩形区域,上可积，且对每个,积分,存在，则累次积分,也存在，且,特别当,在矩形区域,连续时，有,例,1,计算,其中,解,区域,定理,设,在,X-,区域,D,上连续，,y,1,(,x,),y,2,(,x,),在,a,b,连续，则,称为,X,型区域,区域,则,称为,Y,型区域,.,若,D,为,Y,型区域,.,若积分域较复杂,可将它分成若干,X,-,型域或,Y,-,型域,则,例,2,、,计算,其中,D,是直线,y,1,x,2,及,y,x,所围的闭区域,.,解法,1.,将,D,看作,X,型区域,则,解法,2.,将,D,看作,Y,型区域,则,例,3,、,计算,其中,D,是抛物线,所围成的闭区域,.,解,及直线,这是,Y-,区域，,画出积分区域的图形,先对,x,后对,y,积分,解法,2,D,也是,X-,型区域，,显然解法,1,比解法,2,好！,例,4,、,计算,其中,D,是直线,所围成的闭区域,.,解,:,画积分区域图形，,因为,则,若先对,x,积分，,的原函数不能用初等函数表示，因此,改用另一种顺序的累次积分，于是有,内容小结,(1),二重积分化为累次积分的方法,若积分区域为,X,-,型,则,若积分区域为,Y,-,型,则,习题,1,、求,其中,D,：,2,、求,其中,D,：,3,、求,其中,D,：,