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*,3,.,2,导数与函数的单调性、极值、最值,1,知识梳理,双基自测,2,3,1,自测点评,4,1,.,导函数的符号和函数的单调性的关系,如果在某个区间内,函数,y=f,(,x,),的导数,f,(,x,),0,则在这个区间上,函数,y=f,(,x,),是增加的,;,如果在某个区间内,函数,y=f,(,x,),的导数,f,(,x,),0,.,(,),(2),函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的,.,(,),(3),导数为零的点不一定是极值点,.,(,),(4),函数的极大值不一定比极小值大,.,(,),(5),函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值,.,(,),答案,答案,关闭,(1),(2),(3),(4),(5),7,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,2,.,函数,y=f,(,x,),的导函数,f,(,x,),的图像如图所示,则下面判断正确的是,(,),A.,在区间,(,-,2,1),上,f,(,x,),是增加的,B.,在区间,(1,3),上,f,(,x,),是减少的,C.,在区间,(4,5),上,f,(,x,),是增加的,D.,在区间,(2,3),上,f,(,x,),不是单调函数,答案,解析,解析,关闭,因为导数大于,0,的区间是函数的递增区间,导数小于,0,的区间是函数的递减区间,所以由图像可知在区间,(4,5),上,f,(,x,),0,故,f,(,x,),在区间,(4,5),上是增加的,.,答案,解析,关闭,C,8,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,3,.,(2016,四川,文,6),已知,a,为函数,f,(,x,),=x,3,-,12,x,的极小值点,则,a=,(,),A.,-,4B.,-,2C.4D.2,答案,解析,解析,关闭,f,(,x,),=,3,x,2,-,12,=,3(,x+,2)(,x-,2),令,f,(,x,),=,0,得,x=-,2,或,x=,2,.,易得,f,(,x,),在,(,-,2,2),上是减少的,在,(,-,-,2),(2,+,),上是增加的,故,f,(,x,),极小值为,f,(2),由已知得,a=,2,故选,D,.,答案,解析,关闭,D,9,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,4,.,(2016,山西朔州模拟,),已知函数,f,(,x,),=x,3,+ax,2,+,3,x,在定义域上是增函数,则实数,a,的取值范围为,.,答案,解析,解析,关闭,函数,f,(,x,),=x,3,+ax,2,+,3,x,在定义域上是增函数,f,(,x,),=,3,x,2,+,2,ax+,30,在,R,上恒成立,=,4,a,2,-,360,解得,-,3,a,3,.,答案,解析,关闭,-,3,3,10,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,5,.,如图是,f,(,x,),的导函数,f,(,x,),的图,像,则,f,(,x,),的极小值点的个数为,.,答案,解析,解析,关闭,由题意知,只在,x=-,1,处,f,(,-,1),=,0,且其左右两侧导数符号为左负右正,.,答案,解析,关闭,1,11,知识梳理,双基自测,自测点评,1,.,若函数,f,(,x,),在区间,(,a,b,),上是增加的,则,f,(,x,),0;“,f,(,x,),0,在,(,a,b,),上恒成立,”,是,“,f,(,x,),在,(,a,b,),上是增加的,”,的充分不必要条件,.,2,.,对于可导函数,f,(,x,),“,f,(,x,0,),=,0”,是,“,函数,f,(,x,),在,x=x,0,处有极值,”,的必要不充分条件,.,如函数,y=x,3,在,x=,0,处导数为零,但,x=,0,不是函数,y=x,3,的极值点,.,3,.,求最值时,应注意极值点和所给区间的关系,关系不确定时,需要分类讨论,不可想当然认为极值就是最值,.,4,.,函数最值是,“,整体,”,概念,而函数极值是,“,局部,”,概念,极大值与极小值之间没有必然的大小关系,.,12,考点,1,考点,2,考点,3,考向一,讨论函数的单调性或求单调区间,(1),确定,a,的值,;,(2),若,g,(,x,),=f,(,x,)e,x,讨论,g,(,x,),的单调性,.,思考,如何利用导数的方法讨论函数的单调性或求单调区间,?,13,考点,1,考点,2,考点,3,14,考点,1,考点,2,考点,3,令,g,(,x,),=,0,解得,x=,0,x=-,1,或,x=-,4,.,当,x-,4,时,g,(,x,),0,故,g,(,x,),是减少的,;,当,-,4,x,0,故,g,(,x,),是增加的,;,当,-,1,x,0,时,g,(,x,),0,时,g,(,x,),0,故,g,(,x,),是增加的,.,综上知,g,(,x,),在,(,-,-,4),和,(,-,1,0),内是减少的,在,(,-,4,-,1),和,(0,+,),内是增加的,.,15,考点,1,考点,2,考点,3,解题心得,1,.,导数法求函数单调区间的一般流程,:,求定义域,求导数,f,(,x,),求,f,(,x,),=,0,在定义域内的根,用求得的根划分定义区间,确定,f,(,x,),在各个开区间内的符号,得相应开区间上的单调性,.,2,.,利用导数研究函数单调性的关键在于准确判定导数的符号,当,f,(,x,),不含参数时,解不等式,f,(,x,),0(,或,f,(,x,),0,知,f,(,x,),与,1,-x+,e,x-,1,同号,.,令,g,(,x,),=,1,-x+,e,x-,1,则,g,(,x,),=-,1,+,e,x-,1,.,所以,当,x,(,-,1),时,g,(,x,),0,g,(,x,),在区间,(1,+,),上是增加的,.,故,g,(1),=,1,是,g,(,x,),在区间,(,-,+,),上的最小值,从而,g,(,x,),0,x,(,-,+,),.,综上可知,f,(,x,),0,x,(,-,+,),.,故,f,(,x,),的递增区间为,(,-,+,),.,18,考点,1,考点,2,考点,3,考向二,已知函数单调性求参数的取值范围,例,2,已知函数,f,(,x,),=x,3,-ax-,1,.,(1),讨论,f,(,x,),的单调性,;,(2),若,f,(,x,),在,R,上为增函数,求实数,a,的取值范围,.,思考,已知函数单调性求参数的一般思路是什么,?,19,考点,1,考点,2,考点,3,20,考点,1,考点,2,考点,3,(2),因为,f,(,x,),在,(,-,+,),上是增函数,所以,f,(,x,),=,3,x,2,-a,0,在,(,-,+,),上恒成立,即,a,3,x,2,对,x,R,恒成立,.,因为,3,x,2,0,所以只需,a,0,即实数,a,的取值范围为,(,-,0,.,解题心得,已知函数单调性求参数的一般思路是转化为不等式的恒成立问题,即,“,若函数,f,(,x,),是增加的,则,f,(,x,),0;,若函数,f,(,x,),是减少的,则,f,(,x,),0”,来求解,.,21,考点,1,考点,2,考点,3,对点训练,2,已知函数,f,(,x,),=-,2,x,2,+,ln,x,其中,a,为常数,.,(1),若,a=,1,求函数,f,(,x,),的单调区间,;,(2),若函数,f,(,x,),在区间,1,2,上为单调函数,求,a,的取值范围,.,解,(1),若,a=,1,则,f,(,x,),=,3,x-,2,x,2,+,ln,x,的定义域为,(0,+,),当,x,(0,1),时,f,(,x,),0,即函数,f,(,x,),=,3,x-,2,x,2,+,ln,x,是增加的,.,当,x,(1,+,),时,f,(,x,),0,时,函数,f,(,x,),在,x=a,处取得极小值,a-a,ln,a,无极大值,.,26,考点,1,考点,2,考点,3,解题心得,1,.,可导函数,y=f,(,x,),在点,x,0,处取得极值的充要条件是,f,(,x,0,),=,0,且在,x,0,左侧与右侧,f,(,x,),的符号不同,.,2,.,若函数,y=f,(,x,),在区间,(,a,b,),内有极值,则函数,y=f,(,x,),在,(,a,b,),内不是单调函数,即若函数,y=f,(,x,),在某区间上是单调函数,则函数,y=f,(,x,),在此区间上一定没有极值,.,3,.,利用导数研究函数极值的一般流程,:,27,考点,1,考点,2,考点,3,(1),求,a,的值,;,(2),求函数,f,(,x,),的单调区间与极值,.,28,考点,1,考点,2,考点,3,令,f,(,x,),=,0,解得,x=-,1,或,x=,5,.,由,x=-,1,不在,f,(,x,),的定义域,(0,+,),内,故舍去,.,当,x,(0,5),时,f,(,x,),0,故,f,(,x,),在,(5,+,),内是增加的,.,由此可知函数,f,(,x,),在,x=,5,时取得极小值,f,(5),=-,ln,5;,函数,f,(,x,),没有极大值,.,29,考点,1,考点,2,考点,3,(1),讨论,f,(,x,),的单调区间,;,(2),设,g,(,x,),=f,(,x,),+,2,a,ln,x,且,g,(,x,),有两个极值点为,x,1,x,2,其中,x,1,0,e,求,g,(,x,1,),-g,(,x,2,),的最小值,.,思考,求函数的最值可划分为哪几步,?,30,考点,1,考点,2,考点,3,令,f,(,x,),=,0,得,x,2,-ax+,1,=,0,.,当,-,2,a,2,时,=a,2,-,4,0,此时,f,(,x,),0,且,f,(,x,),在,(0,+,),上的任意子区间内都不恒等于,0,所以,f,(,x,),在定义域,(0,+,),内是增函数,;,当,a,0,时,但,x,2,-ax+,1,=,0,的两根,x,1,x,2,均为负数,此时,f,(,x,),0,在,(0,+,),上恒成立,所以,f,(,x,),在定义域,(0,+,),上是增函数,;,31,考点,1,考点,2,考点,3,当,a,2,时,=a,2,-,4,0,解,x,2,-ax+,1,=,0,得两根为,32,考点,1,考点,2,考点,3,33,考点,1,考点,2,考点,3,解题心得,求函数,f,(,x,),在,a,b,上的最大值和最小值的步骤,:,(1),求函数在,(,a,b,),内的极值,.,(2),求函数在区间端点处的函数值,f,(,a,),f,(,b,),.,(3),将函数,f,(,x,),的极值与,f,(,a,),f,(,b,),比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值,.,34,考点,1,考点,2,考点,3,对点训练,4,(2016,河南焦作二模,),设函数,f,(,x,),=,e,x,-ax-,2,.,(1),求,f,(,x,),的单调区间,;,(2),若,a=,1,k,为整数,且当,x,0,时,(,x-k,),f,(,x,),+x+,1,0,求,k,的最大值,.,解,(1),由题意知函数,f,(,x,),=,e,x,-ax-,2,的定义域是,R,f,(,x,),=,e,x,-a.,若,a,0,则,f,(,x,),=,e,x,-a,0,故函数,f,(,x,),=,e,x,-ax-,2,在,(,-,+,),上递增,;,若,a,0,则当,x,(,-,ln,a,),时,f,(,x,),=,e,x,-a,0;,因此,f,(,x,),在,(,-,ln,a,),内是减少的,在,(ln,a,+,),内是增加的,.,35,考点,1,考点,2,考点,3,(2),因为,a=,1,所以,(,x-k,),f,(,x,),+x+,1,=,(,x-k,)(e,x,-,1),+x+,1,.,由,(1),知,当,a=,1,时,函数,f,(,x,),=,e,x,-x-,2,在,(0,+,),上是增加的,而,f,(1),0,所以,f,(,x,),=,e,x,-x-,2,在,(0,+,),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