逻辑函数的化简

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数字电路与逻辑设计,第二章 逻辑函数及其化简,西安邮电大学“省级精品课程”,逻辑函数化简,1,化简的意义,1,）将逻辑函数化简为某种希望的特定形式,2,）将逻辑函数最简化,公式化简法（代数法）,1,）并项法：,2,）吸收法：,3,）消去法：,4,）配项法：,回顾：,2.2,逻辑函数的化简,2,2.2,逻辑函数的化简,化简的意义,公式化简法（代数法）,卡诺图化简法（图解法）,3,2.2.3,卡诺图化简法（图解法）,复习：,最小项的定义,最小项逻辑函数中，包含全部变量的乘积项称为最小项。,n,变量逻辑函数共有2,n,个最小项。,A B C,0 0 0,0 0 1,0 1 0,0 1 1,1 0 0,1 0 1,1 1 0,1 1 1,变 量 取 值,最 小 项,m,0,m,1,m,2,m,3,m,4,m,5,m,6,m,7,编 号,三变量函数的最小项,2.2,逻辑函数的化简,4,一、卡诺图,1,相邻最小项 若两个最小项中只有一个变量互为反变量，其余变量均相同，则称这两个最小项逻辑相邻，简称,相邻项,。,若两个相邻项出现在同一个逻辑函数中，它们可合并为一项，同时消去互为反变量的那个因子。,相邻最小项可以合并！,2 .卡诺图,一个小方格代表一个最小项，然后将这些最小项按照相邻性排列起来。用小方格在几何位置上的相邻性来表示最小项的逻辑相邻性。,如：,与,，,，,，,均逻辑相邻。,2.2,逻辑函数的化简,3卡诺图的结构,（,1,）二变量卡诺图,（2）三变量卡诺图,A,B,AB,00,01,11,10,A,B,AB,00,01,11,10,C,0,1,2.2,逻辑函数的化简,（3）四变量卡诺图,卡诺图的相邻特性：,（1）只要小方格在几何位置上相邻，它们所代表的最小项一定逻辑上相邻。,（2）处在任何一行或一列两端的最小项也逻辑相邻，从几何位置上将卡诺图看成上下、左右闭合的图形,。,A,B,C,D,AB,00,01,11,10,CD,00,01,11,10,2.2,逻辑函数的化简,二、用卡诺图表示逻辑函数,1从真值表到卡诺图,例1：已知某逻辑函数的真值表，用卡诺图表示该逻辑函数。,解：该函数为三变量函数，先画出三变量卡诺图，然后根据真值表将,8,个最小项的取值分别填入卡诺图中对应的,8,个小方格中即可。,0 0 0,0 0 1,0 1 0,0 1 1,1 0 0,1 0 1,1 1 0,1 1 1,A B C,0,0,0,1,0,1,1,1,L,真值表,C,AB,0,00,01,1,11,10,C,A,B,1,1,1,1,0,0,0,0,2.2,逻辑函数的化简,8,2从逻辑表达式到卡诺图,（,1,）如果表达式为最小项表达式，则可直接填入卡诺图。,解：写成简化形式：,例,2,：用卡诺图表示,3,变量逻辑函数,:,然后填入卡诺图：,F,AB,00,01,11,10,C,0,1,1,1,1,1,0,0,0,0,方法如下：,逻辑函数包含哪些最小项，其对应的方格填,1,。,逻辑函数不包含的最小项，其对应的方格填,0,或空着。,ABC,C,AB,BC,A,C,B,A,F,+,+,+,=,2.2,逻辑函数的化简,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,解：,AB,00,01,11,10,CD,00,01,11,10,（2）若不是最小项表达式，应先化为最小项表达式，然后再 填入卡诺图;或者采用观察法直接填写。,例,3,：用卡诺图表示,4,变量逻辑函数,:,AC,BD,A,C,AB,F,+,+,=,法二：观察法,只要乘积项中现有的变量因子能使该项为,1,，则该乘积项为,1,。,11,0,0,0,1,1,1,01,0,1,1,1,1,1,1,1,1,0,1,1,1,0,1,1,1,1,2.2,逻辑函数的化简,三、卡诺图合并最小项,1,卡诺图最小项合并原理,:,相邻的最小项可以合并！,（,1,）,2,个相邻的最小项可以合并，消去,1,个取值不同的变量。,F,AB,00,01,11,10,C,0,1,1,0,0,0,0,0,1,0,F,AB,00,01,11,10,C,0,1,1,0,0,0,0,0,0,1,F,AB,00,01,11,10,C,0,1,0,1,1,0,0,0,0,0,2.2,逻辑函数的化简,11,AB,00,01,11,10,CD,00,01,11,10,1,1,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,1,1,（,1,）,2,个相邻的最小项可以合并，消去,1,个取值不同的变量。,2.2,逻辑函数的化简,（,2,）,4,个相邻的最小项可以合并，消去,2,个取值不同的变量。,F,AB,00,01,11,10,C,0,1,1,0,0,1,0,1,1,0,F,AB,00,01,11,10,C,0,1,1,0,0,0,1,1,0,1,F,AB,00,01,11,10,C,0,1,0,1,0,1,1,1,0,0,2.2,逻辑函数的化简,AB,00,01,11,10,CD,00,01,11,10,1,1,1,1,0,0,0,0,0,1,1,0,0,1,0,1,AB,00,01,11,10,CD,00,01,11,10,0,0,0,0,1,1,1,1,1,0,0,1,1,0,1,0,（,2,）,4,个相邻的最小项可以合并，消去,2,个取值不同的变量。,2.2,逻辑函数的化简,AB,00,01,11,10,CD,00,01,11,10,1,0,1,1,1,0,0,1,0,0,0,1,0,0,1,0,（,2,）,4,个相邻的最小项可以合并，消去,2,个取值不同的变量。,2.2,逻辑函数的化简,（,3,）,8,个相邻的最小项可以合并，消去,3,个取值不同的变量。,AB,00,01,11,10,CD,00,01,11,10,1,1,1,1,0,1,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,AB,00,01,11,10,CD,00,01,11,10,0,1,1,0,1,0,1,1,1,1,1,0,1,1,1,1,2.2,逻辑函数的化简,注意：圈在一起的方格相邻关系是封闭的！,如果圈内有,2,n,个方格，那么每个方格均与其它,n,个方格相邻。每一个圈都是规则的，没有凹凸。,如：,m,0,m,1,m,3,m,2,；,m,0,m,4,m,12,m,8,m,2,m,6,m,14,m,10,；,m,5,m,13,m,9,m,11,不能圈在一起！,AB,00,01,11,10,CD,00,01,11,10,m,5,m,7,m,15,m,13,m,1,m,4,m,11,m,9,m,3,m,0,m,2,m,12,m,6,m,8,m,14,m,10,2.2,逻辑函数的化简,2三个概念,主要项：,卡诺图中，在2,i,个“1”格圈在一起的前提下，主要项的圈已足够大，不被更大的圈所覆盖。,2.2,逻辑函数的化简,F,AB,00,01,11,10,C,0,1,1,0,0,1,1,1,1,0,必要项：,必要项是指至少含有一个“1”格未被其它圈所覆盖的主要项。,F,AB,00,01,11,10,C,0,1,1,1,0,1,0,0,1,0,多余项：,多余项包含的“1”格均已被其主要项的圈所覆盖。,2卡诺图最小项合并总结（画圈的原则）,（1）圈在一起的方格必须相邻，且每个圈内的方格数必须是2,n,个。其中，,n,= 0,1,2,。,（2）除了常规的结构相邻之外，相邻的方格还包括上下底相邻、左右边相邻以及四角相邻。,（3）卡诺图中所有取值为“1”的方格均要被圈过，即：不能漏下取值为1的最小项。,（4）允许重复被圈，但在新的圈中必须含有未被圈过的“1”方格（必要项），否则该圈是多余的（多余项）。,（5）圈内的方格数要尽量多，圈的个数要尽量少。,（6）孤立的“1”格单独被圈。,（7）圈与圈之间呈“或”的关系。,2.2,逻辑函数的化简,19,卡诺图合并最小项的过程，就是逻辑函数化简的过程。,四、 逻辑函数的卡诺图化简法,1. 圈1法：,化简步骤：,（1）画出逻辑函数相应的卡诺图。,（2）按照卡诺图最小项合并的原则进行画圈化简，每一个圈得到一个新的乘积项。,（3）将所有的圈对应的乘积项相加，构成最简与-或式。,2.2,逻辑函数的化简,20,2.2,逻辑函数的化简,作出逻辑函数的卡诺图,圈出所有孤立,1,格主要项,圈出所有主要项,留下必要项，去掉多余项,检查确保圈尽量大，圈数尽量少,写出化简,结果,例,4.,化简：,F,（,A,B,C,D,）,=,m,（,0, 2, 5, 6, 7, 9, 10, 14,）,21,例5:化简逻辑函数：,L,（,A,B,C,D,）=,m,（0, 2, 3, 4, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15）,解：,1,）由表达式画出卡诺图。,2,）画圈化简,3,）得到最简与,-,或式：,AB,00,01,11,10,CD,00,01,11,10,0,1,1,1,0,1,1,0,1,1,1,0,1,0,1,1,2.2,逻辑函数的化简,22,解：,1,）由表达式画出卡诺图。,注意：图中绿色圈对应的是多余项，应去掉。,例,14:,用卡诺图化简逻辑函数：,2,）画圈合并最小项。,3,）得到最简与,或式,:,AB,00,01,11,10,CD,00,01,11,10,0,0,1,1,0,0,1,1,0,1,1,0,0,1,0,1,2.2,逻辑函数的化简,23,例15: 已知某逻辑函数的真值表，用卡诺图化简该函数。,2）画包围圈合并最小项。,有两种画圈的方法：,解：,1,）由真值表画出卡诺图。,！,由此可见，,一个逻辑函数的真值表是唯一的，卡诺图也是唯一的，但化简结果有时不唯一。,（,b,）：写出表达式：,（,a,）：写出表达式,：,0 0 0,0 0 1,0 1 0,0 1 1,1 0 0,1 0 1,1 1 0,1 1 1,A B C,0,1,1,1,1,1,1,0,L,真值表,F,AB,00,01,11,10,C,0,1,0,0,1,1,1,1,1,1,F,AB,00,01,11,10,C,0,1,0,0,1,1,1,1,1,1,2.2,逻辑函数的化简,24,2,、圈,0,法,采,用圈,0,法对逻辑函数进行化简，可以得到函数的最简或与式。,圈,0,法的方法和步骤与圈,1,法基本相同；,不同之处在于：,1,）每个圈内是,2,n,个,0,格；,2,）每个圈的化简结果是,或表达式,，其由圈内取值不变的因子相或来表示。此时，取值为,0,用原变量表示，取值为,1,用反变量表示；,3,）圈与圈之间呈,“与”,的关系；,2.2,逻辑函数的化简,25,例16: 求函数：,F,(,A,B,C,D,)=,m,(0, 2, 3, 5, 7, 8, 10, 11, 13),的最简或-与表达式。,解：,1,）由表达式画出卡诺图。,2,）采用圈,0,法进行化简,3,）得到最简或,-,与式,AB,00,01,11,10,CD,00,01,11,10,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,1,0,0,1,0,1,2.2,逻辑函数的化简,26,例17: 某函数的卡诺图如图示，分别用“圈1法”和“圈0法”写出其最简与或式。,2,）用圈,0,法化简：,解：,1,）用圈,1,法化简：,AB,00,01,11,10,CD,00,01,11,10,1,1,1,1,1,0,1,1,1,1,1,0,1,1,1,1,AB,00,01,11,10,CD,00,01,11,10,1,1,1,1,1,0,1,1,1,1,1,0,1,1,1,1,2.2,逻辑函数的化简,27,五、具有任意项的逻辑函数化简,在某逻辑函数中，变量的某些取值组合不会出现，或者函数在这些取值组合下输出不确定，可能为“,1”,也可能为“,0”,，将这些取值组合所对应的最小项称为,任意项,。,具有任意项的逻辑问题称为,非完全描述问题,。在处理这类问题时，合理地利用任意项，能使问题进一步简化。,在卡诺图中，任意项对应的方格用,填充，可以作为“,1”,也可以作为“,0”,。具体视为“,1”,还是“,0”,，以利于化简为前提。,在标准与,-,或表达式中，任意项用,d,(,m,i,),表示。,2.2,逻辑函数的化简,28,例18: 某逻辑函数输入是,8421BCD,码，其逻辑表达式为：,L,(,A,B,C,D,)=,m,(1, 4, 5, 6, 7, 9)+,d,(10, 11, 12, 13, 14, 15),用卡诺图法化简该逻辑函数。,解：1）画出4变量卡诺图。将1、4、5、6、7、9号方格填入1； 将10-15号方格填入。,3,）写出逻辑函数的最简与,或表达式,:,2,）合并最小项。注意，,1,方格不能漏选。,方格根据需要，可以圈入，也可以放弃。,AB,00,01,11,10,CD,00,01,11,10,1,1,1,1,1,0,0,0,1,0,2.2,逻辑函数的化简,29,如果不考虑任意项，写出表达式为：,AB,00,01,11,10,CD,00,01,11,10,1,1,1,1,1,0,0,0,1,0,注意,:,在考虑任意项时，哪些当作“,1”,，哪些当作“,0”,，要以尽量使圈最大、圈数最少，利于函数最简为原则。,2.2,逻辑函数的化简,30,本 章 小 结,1.逻辑运算中的三种基本运算：与、或、非。,2.描述逻辑关系的函数称为逻辑函数。逻辑函数中的变量和函数值都只能取0或1两个值。,3.常用的逻辑函数表示方法有真值表、函数表达式 、逻辑图等，它们之间可以相互转换。,4.逻辑代数是分析和设计逻辑电路的工具，应熟练掌握基本公式与基本规则。,5. 两种主要的逻辑函数化简方法：公式法和卡诺图法。,公式法,是用逻辑代数的基本公式与规则进行化简，必须熟练掌握基本公式和规则，并需要一定的运算技巧和经验。,卡诺图法,基于合并相邻最小项的原理进行化简，其优点是简单、直观，不易出错，有一定的步骤和方法可循。,2.2,逻辑函数的化简,31,2.2,逻辑函数的化简,作业：,用卡诺图法化简为最简“与,-,或”式。,1.,2.,用卡诺图法化简为最简“与,-,或”式。,4.,分别用圈“,1”,法和圈“,0”,法化简为最简“或,-,与”式。,3.,卡诺图法化简，并写成最简“与非,-,与非”式。,32,