3.1.5空间向量及其运算的坐标表示

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.1.5,空间向量及其运算的坐标表示,1,空间向量,基本,定理,建立三条数轴：,x,轴、,y,轴、,z,轴，它们都叫做坐标轴,.,这样就建立了一个空间直角坐标系,Oxyz,通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。,2,空间直角坐标系（右手）：,O,Z,Y,X,x,轴：横坐标,y,轴：纵坐标,z,轴：竖坐标,坐标平面：,xoy,yoz,zox,在空间直角坐标系,O-xyz,中，对空间任一点,A,对应一个向量,OA,，,于是存在唯一的有序实数组,x,y,z,，,使,OA=,xi+yj+zk,在单位正交基底,i,j,k,中与向量,OA,对应的有序实数组,(x,y,z),，,叫做点,A,在此空间直角坐标系中的坐标，记作,A(x,y,z),，,其中,x,叫做点,A,的横坐标，,y,叫做点,A,的纵坐标，,z,叫做点,A,的竖坐标,.,3,空间中点的直角坐标表示,x,y,z,O,A(x,y,z),i,j,k,O,Z,Y,X,P(x,y,z,),y,z,x,设,A(x,1,y,1,z,1,),B(x,2,y,2,z,2,),则,AB=OB-OA=(x,2,y,2,z,2,)-(x,1,y,1,z,1,),=(x,2,-x,1,y,2,-y,1,z,2,-z,1,).,一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标,.,4,空间向量的直角坐标表示,OA=(x,1,y,1,z,1,)OB=(x,2,y,2,z,2,).,6,、向量的直角坐标运算,7,、距离与夹角,1.,距离公式,（,1,）向量的长度（模）公式,注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。,（,2,）空间两点间的距离公式,（,3,）中点坐标公式：,2.,两个向量夹角公式,注意：,（,1,）当 时，同向；,（,2,）当 时，反向；,（,3,）当 时，。,思考：当 及 时，,的夹角在什么范围内？,平面向量,空间向量,对比表,3,平面向量,空间向量,对比表,4,平面向量,空间向量,对比表,1,练习一：,1.,求下列两个向量的夹角的余弦：,2.,求下列两点间的距离：,例,1,已知、，求：,（,1,）线段的中点坐标和长度；,解：设是的中点，则,点的坐标是,.,（,2,）到两点距离相等的点的,坐标满足的条件。,解：点到的距离相等，则,化简整理，得,即到两点距离相等的点的坐标满,足的条件是,例,2,如图，在正方体中，,，求与所成的角的余弦值。,解：设正方体的棱长为,1,，如图建,立空间直角坐标系，则,例,2,如图，在正方体中，,，求与所成的角的余弦值。,练习,:,如图，在正方体中，点,E,F,分别为,BB,1,和,D,1,B,1,中点,(1),求证,EF,DA,1,(2),求,AC,1,与,CE,所成的角,