频率特性和时域性能指标的关系

,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第七节 频率特性和时域性能指标的关系,通过频率特性曲线获得稳态性能指标,频率域性能指标,频率域特性指标与时域瞬态指标的关系,主要内容,一、稳态性能指标分析：,如果通过频率特性曲线能确定系统的无差度阶数 （即积分环节的个数）和开环放大系数k的话，则可求得系统的稳态误差。（见第三章第六节 稳态误差分析）,在波德图上，低频渐进线的斜率 和 的关系如下：,由 ，可求得 值；也可由 ，求 。,开环放大系数k的求法有两种：,低频渐进线为：,当 时，有：，故：,低频渐进线斜率=-20v,当 时，k也可由 与横轴的交点 来求。,当 时，有：,二、,频域性能指标,开环频域指标,幅值稳定裕度：,-180,穿越频率处的负增益,定义在极坐标上：,定义在对数坐标上：,相角稳定裕度：,截止频率,(,幅值穿越频率,),处的相位,+,180,其中：,其中：,闭环频域指标,右图为典型闭环系统的幅频特性。常用的闭环频域指标包括：,零频振幅比,M,(0),：直接反映系统的稳态精度。,M,(0)1：当阶跃函数输入系统时，其阶跃响应的稳态值c()等于输入，即系统的稳态误差为0。,M,(0),1：表示系统存在稳态误差。,M,(0)越接近1，系统的稳态精度越高；反之，系统的稳态精度越低。,谐振峰值,M,p,：,M,p,值越大，表明系统对频率为 的正弦信号响应越强烈，有谐振的趋势，表明系统的相对稳定性较差，系统的阶跃响应将有较大的超调量。,谐振频率,：,M,p,对应的频率。从前面闭环系统的分析可知，未必所有的系统都有谐振峰值和谐振频率，所以使用谐振频率不能完善的描述系统的低通特性。,带宽频率,：,带宽较宽，表明系统能通过频率较高的输入信号；带宽较窄，说明系统只能通过领率较低的输入情号。因此，通频带较宽的系统，重演输人信号的能力较强；但抑制输入端高频干扰的能力较弱。我们还将进一步讨论带宽与系统的调节时间之间的密切关系。,开环频率特性中频段斜率与系统稳定性的关系,中频段是指系统截止频率附近的频段。,右图为开环为积分环节的单位反馈系统。系统的相角文档裕度分别为,90,和,0,，第二个系统是不稳定的。,一般情况下，系统开环对数幅频特性的斜率在整个频率范围内并非是一成不变的，系统相角余量,r,应由整个对数幅频特性中各段的斜率共同确定。但是，,L,(,),在,c,处曲线的斜率对相角裕度,r,的影响最大，远离,c,曲线的斜率对,r,的影响很小。,当,c,较低时，相角裕度主要由,L,(,),低频段的斜率决定；当,c,较高时，相角裕度主要由,L,(,),高频段的斜率决定；当,c,低频往高频变化时，相角裕度受,L,(,),低频段斜率的影响逐步减小，受,L,(,),高频段斜率的影响则逐步增大。,例,分析相角稳定裕度与系统参数的关系。,解,绘制系统开环对数频率特性，,使用分段直线近似，如右图。,分段直线的斜率分别为：,-40,，,-20,，,-40,，要使得系统有较大的相角裕度，,c,应取在什么位置？,令：,相角裕度为：,由上式可知：,如果,c,2,不变，,r,仅随,1,变化。,1,增高，,r,减小；,1,降低，,r,增大。,若,T,1,较大，,1,较低，即离,c,较远，斜率为,-40,的低频段对,r,的影响较小。若,T,1,足够大，低频段影响可忽略，此时：,如果,c,1,不变，,r,仅随,2,变化。,2,增高，,r,减小；,2,降低，,r,增大。,若,T,2,较大，,2,较低，即离,c,较远，斜率为,-40,的高频段对,r,的影响较小。若,T,2,足够大，高频段影响可忽略，此时：,如果,1,2,不变，令,2,h,1,，其中,h,2,/,1,，,h,可描述,L,(,),中频段宽度。,通过改变,K,值，相角裕度随,c,的变化如右图。,K,增大，,L,(,),特性上移，,c,增大，更加靠近,2,，,L,(,),高频段斜率对,r,的影响大，相角裕度较小；,K,减小，,L,(,),特性下移，,c,减小，更加靠近,1,，,L,(,),低频段斜率对,r,的影响大，相角裕度较小；,K,减小取某个值时，可使,r,达到极大值。,或：,由上式可知，调节,K,使处于,1,与,2,的几何中心点时，系统具有最大相角裕度：,由上式又知，系统的中频段宽度越宽，通过调节,K,可能达到的最大相角裕度越大，系统的相对稳定性也就越高。,四、开环频率特性与瞬态性能指标的关系,频域性能指标：,由频宽的定义知：我们知道一阶惯性环节的调整时间是：,则频宽越大，调整时间越小。,一阶系统：,传递函数为：,二阶系统：,闭环频率特性为：,开环频率特性为：,幅频特性为：,相频特性为：,r,与 的关系,绘制,r,，,M,p,，,%,与,之间的关系，如右图所示。由图中可见,r,与,是单调增的，于是，,r,越小，,%,越大；,r,越大，,%,越小。,为了使系统的瞬态过程震荡不太激烈，调节时间比较小，通常取,30,r,60,。,r,，,c,与,T,s,的关系,又，所以,可见，,T,s,与,r,和,c,都有关。如果,r,给定，那么,T,s,与,c,成反比。如果两个二阶系统的,r,相同，那么它们的,%,相同，,c,较大的系统，,T,s,必然较短。,高阶系统,对于一般的高阶系统，要准确推导出开环频域特征量,(,r,和,c,),与时域指标,(,%,和,T,s,),之间的关系是困难的，并且使用起来也不方便。在工程中，常遇到的一种高阶系统是所谓,1-2-1-2-3,型系统，其传递函数为：,其中,a,2,，,b,2,，,c,2,，,d,2,。此时，系统的中频段宽度较大，这时可以用如下经验公式计算系统的,%,和,T,s,：,一般的高阶系统，如果斜率为,20db/dec,的中频段足够宽时，也可以使用如下公式估计系统的性能指标：,满足：,右图是根据上式绘制的,r,与,和,T,s,的曲线，可见随着,r,的增加，,和,T,s,均变小，说明系统的震荡减弱并且速度加快。,五、开环频率特性高频段对系统性能的影响,L,(,),高频段特性由小时间常数的环节构成，则其转折频率均远离截止频率,c,，所以对系统的动态响应影响不大。但是，从系统抗干扰的角度出发，研究高频段的特性是有实际意义的。对于单位反馈系统，开环频率特性,G,(,j,),和闭环频率特性,(,j,),的关系为：,在高频段：即 由上式：,上式说明，闭环系统的高频段特性近似等于开环频率特性。因此，,L,(,),高频段幅值直接反映系统对噪声的抑制能力，高频段分贝值越低，系统对高频信号的衰减越厉害，系统抗噪声能力越强。,六、闭环频域指标与时域指标的关系,用闭环频率特性分析、设计系统,，通常以谐振峰值,M,p,和频带宽度,b,(或谐振频率,p,)作为依据。,M,p,、,b,与时域指标,%,、,T,s,之间存在,确定关系，这种关系在二阶系统中是严格的在高阶系统中则是近似的。,二阶系统,闭环频率特性为：,开环频率特性为：,M,p,与,%,的关系,闭环幅频特性为：,绘制上述结果与,%,、,r,之间关系，如右图。图中表明：,M,p,越小，系统的阻尼性能越好。若,M,p,值较高，则系统的动态过程超调量大，收敛慢，平稳性和快速性都较差。,M,p,1.21.5时，对应的,%,：2630，这时的动态过程有适度的振荡，平稳性及快速性均较好。工程中常以,M,p,1.3作为系统设计的依据。,M,p,过大(如Mp2)，则闭环系统阶跃响应的超调量可达,40以上。,M,p,、,b,与,T,s,的关系,同样可以绘制,b,T,s,和,M,p,之间的关系。,由图可见，对于给定的谐振峰值,M,p,，调节时间,T,s,与带宽,b,成反比，频带宽度越宽，则调节时间,T,s,越短。实际上，如果系统有较宽的通频带，则表明系统自身的“惯性”很小，故动作过程迅速，系统的快速性好。,高阶系统,对于高阶系统，难于找出闭环频率特性的频域指标和时域指标之间的关系。但是，若高阶系统存在着一对共扼复数主导极点时，则可用二阶系统所建立的关系来近似表示。至于一般的高阶系统，常用下列两个经验公式进行分析、估算：,其中：,七、结论,通过以上分析可以看出，系统的开环频率特性反映了闭环系统的性能。对于最小相位系统，开环幅频特性和相频特性之间有确定的关系，系统性能完全可以由开环对数幅频特性,L,(,),反映,。,根据开环特性与系统性能之间的关系，我们所希望得到的开环对数幅频特性应具有如下的性质：,如果要求具有一阶或二阶无差度，则,L,(,),特性低频段应具有-20dB/dec,或,-40dB/dec的斜率。为保证系统的,稳态精度，低频段应有较高的分贝值。,L,(,),特性应以-20dB/dec的斜率穿过零分贝线，且具有一定的中频段宽度。,这样，系统就有足够的稳定裕度，以保证闭环系统具有较好的平稳性。,L,(,),特性应具有尽可能高的截止频率,c,，以提高闭环系统的快速性,。,L,(,),特性的高频段应有较大的斜率，以增强系统肋抗干扰能力,。,小结,频率特性的定义和表示方法,Nyquist,稳定性判据及其应用,相对稳定性,开环频率特性与系统性能的关系,闭环频率特性与系统性能的关系,高阶系统的经验分析方法,