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金太阳新课标资源网,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,函数的单调性与极值,一、函数的单调性,二、函数的极值,三、函数的最值,10/14/2024,一、函数的单调性,从几何图形上来分析,a,b,x,y,o,都是锐角，即斜率,是上升的。,如果曲线 在,内所有切线的倾斜角,时，那么曲线在,10/14/2024,可见，函数的单调性可以用导数的符号来判定。,a,b,o,y,x,同样，当 时，曲线在 内是下降。,我们有如下定理：,10/14/2024,定理,1,设函数 在 上连续，在区间,内可导，,（,1,）如果在 内 ，则 在,上单调增加；,上单调减少。,（,2,）如果在 内 ，则 在,注意：,（,1,）将定理中的闭区间 换成其他各种区,间定理的结论仍成立。,10/14/2024,单调增加的充分条件，而不是必要条件。,（,2,）在 内，只是 在 上,考察函数,，但等号只在个别处成立，,（,3,）如果在区间 内,（或,）,仍是单调增加（或单调减少）的。,则函数 在 上,考察函数,10/14/2024,例,1,判定函数 的单调性。,解,的定义域是 。,在区间 和 都有 ，只有当,时，所以 在 内单调减少。,例,2,求函数 的单调区间。,解,的定义域是,10/14/2024,令 ，得 ，,它们将定义域,当 时，,当 时，。,所以 的单调增加区间是 和 ；单,调递减区间是,例,3,确定函数 的单调区间。,解,的定义域是,分成三个区间,10/14/2024,令 ，得 ，又 处导数不存在，,，这两点将 分成三个区间，,列表分析 在各个区间的符号：,由表可知，的单调增加区间为 和,，单调减少区间为 。,10/14/2024,二、函数的极值,设函数 在点 的某邻域内有定义，,1,定义,（,1,）如果对该领域内的任意点 ，都有,，则称 是 的,极大值,，称 是,的,极大值点,。,（,2,）,如果对该领域内的任意点 ，都有,，则称 是 的,极小值,，称,是 的,极小值点,。,10/14/2024,函数的极大值和极小值统称为,极值,，极大值点和,极小致点统称为,极值点,。,注意：,极值是局部性的。因而，函数可以有许多个极大值和极小值，并且极大值不一定大于极小值。,o,x,y,10/14/2024,2,极值存在的必要条件和充分条件,定理,2,（,极值的必要条件,）如果函数 在点,处可导，且在点 取得极值，则 。,定理,2,指出：,可导函数的极值点必定是驻点,。,使 的点 称为函数 得,驻点,。,反过来，,驻点不一定是极值点,。,考察函数,另一方面，,函数不可导的点也可能是极值点,。,考察函数,10/14/2024,定理,3,（,极值的第一充分条件,）设函数,在点 连续，且在点 的某一空心邻域,内可导。,（,1,）如果在 内 ，在,内 ，则函数 在点 处取极大值 ；,（,2,）,如果在 内 ，在,内 ，则函数 在点 处取极小值 ；,（,3,）如果 在 和 内不变,号，则 在 处无极值。,10/14/2024,定理,3,即：设 在点 的某一空心邻域内可导，,当 有小增大经过 时，如果 由正变负，,则 是极大值点；如果 由负变正，,极小值点；如果,则 是,不变号，则 不是极值点。,例,4,求函数 的极值。,解,的定义域是,令 ，得驻点 。,当 时，,当 时，,10/14/2024,当 时，。,在 处取得极小值,例,5,求函数 的极值。,解,的定义域是,令 ，得驻点 ，而 时 不存在。,由定理,3,知，在 处取得极大值 。,10/14/2024,因此函数只可能在这两点取得极值，列表讨论如下：,极大值,1,极小值,不存在,由表可知，在 处取得极大值 ，,在 处取得极小值 。,函数 的图形如图,10/14/2024,函数在驻点处二阶导数存在时，还可以用函数的二阶导数判定函数是否有极值。,0,1,x,1,y,定理,4,（,极值的第二充分条件,）设函数 在点,处有二阶导数，且 ，则,（,1,）如果 ，则 在 取得极大值；,（,2,）如果 ，则 在 取得极小值。,10/14/2024,例,6,求函数 的极值。,解,的定义域是,令 ，得到两个驻点 。,由定理,4,可知，都是 的极小值点，,为函数 的极小值。,又,10/14/2024,函数的极值是局部性概念，而最值是一个全局性概念。,可以由驻点及导数不存在的点与区间端点的函,数值相比较，其中最大的就是函数 在 上的,最大值，,最小的就是函数 在 上的最小值。,注意,下述三种情况：,（,1,）如果 在 上是单调函数；,三、函数的最值,1,闭区间,a,，,b,上的连续函数,10/14/2024,（,2,）如果连续函数 在某区间内只有一个极大,（小）值，而无极小（大）值；,（,3,）在实际问题中，由问题的实际意义可知，确,实存在最大值或最小值，又若函数在所讨论的区间内,只有一个可能的极值点，则该点处的函数值一定是最,大值或最小值。,例,7,求函数 在区间,上的最大值与最小值。,解,10/14/2024,比较可知，在 上最大值为 ，最小值,为,例,9,将边长为,a,的一块正方形铁皮，四角各截去一,各大小相同的小正方形，然后将四边折起做成一个无盖,的方盒。问截去的小正方形边长为多大时，所得方盒的,容积最大？,解,如图设小正方形的边长为,x,，则盒底的边长为,得驻点,:,令 ，,10/14/2024,令 ，得 （舍去）。又,所以函数 在 处取得唯一极大值，此极大值就是,最大值。因此，当截去的正方形的边长等于所给正方,形铁皮边长的 时，所做的方盒容积最大。,a,x,方盒的容积为：,10/14/2024,例,10,制作一个容积为 的圆柱形密闭容器，,怎样设计才能使所用材料最省？,解,如图，设容器的底面半径为 ，高为 ，,则表面积为,所以,令,，,得驻点,h,r,由已知,得,故,10/14/2024,所以，所做容器的高和底直径相等时，所用材料最省。,例,11,一工厂,A,与铁路的垂直距离为 ，垂足,B,到火车站,C,的铁路长为 ，要在,BC,段上选,一点,M,向工厂修一条公路，已知铁路与公路每公里运,费之比为,3,：,5,，问,M,选在离,C,多少公里处，才能使从,A,到,C,的运费最少？,S,有,唯一驻点，而实际容器存在最小表面积，因,此求得的驻点为最小值点，此时,10/14/2024,解,设,则,设铁路、公路上每公里运费分别为 从,A,到,C,需要的总运费为 ，则,令 ，,得 （舍去）。因为,10/14/2024,是在区间,0,b,上的唯一驻点，而实际问题中存在,最小值，因而 是最小值点，因此，,M,选在,离,C,点距离为 处时总运费最省。,例,12,工厂生产某产品，当年产量为,x,（单位：百,台）时，总成本（单位：万元）为,C(x)=3+x,，其销,售收入,（单位：万元）为,问年产量,x,为,多少时，总利润,L,最大？,解,利润为,10/14/2024,令 ，得驻点 。,的唯一极大值点，于是 （万元）是最大值，,即每年生产,400,台时，总利润最大，最大利润为,5,万元。,因为 ，所以 是函数,10/14/2024,
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