大地线的定义与性质(精品)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.2.5 大地线,1、大地线的定义与性质,法截弧：,由椭球面上,A,点的法线与,B,点所确定的法截面与椭球面相割得到的曲线称为,A,到,B,的,法截弧。,相对法截弧：,A,到,B,的法截弧与,B,到,A,的法截弧。,由相对法截弧构成的椭球面三角形,不是闭合图形。,2.2.5 大地线（续1）,大地线的定义：,大地线的主法线与曲面法线处处重合。,大地线的性质：,1、大地线上任何点的密切平面就是该点,的法截面；,2、曲面上连接任何两点的最短直线必为,大地线。,3、大地线的测地曲率等于0,曲线的测地曲率：,曲线的曲率在曲面切平面上的投影。,大地线的曲率：,大地线的挠率,2.2.5 大地线（续2）,2、大地坐标系中大地线的微分方程,(1).大地线的二阶微分方程,以,u,v,为参数的一般曲面的大地线微分方程可表示为：,下标为相应的偏导数。,2.2.5 大地线（续3）,对于椭球面，有：,代入前面公式，得：,则旋转椭球面上大地线的微分方程为：,2.2.5 大地线（续4）,(2).克莱劳定理,直角坐标系中的椭球面方程：,椭球面法向量为：,以大地线弧长为参数的大地线主法线向量为：,两者指向一致，即：,2.2.5 大地线（续5）,由上式的前两个方程得：,将三维空间坐标与大地坐标的关系及其微分关系：,1,代入 式，整理得：,1,2,2.2.5 大地线（续6）,将关系：,即：大地线上各点的平行圈,半径与该点的大地线方位角,正弦的乘积是常数。,代入上式，即得克莱劳定理：,2.2.5 大地线（续7）,(3).大地线的一阶微分关系式,由克莱劳定理，微分得：,2.2.5 大地线（续8）,又如图所示：,代入上式，得：,三个微分关系式可整理为：,3,2.2.5 大地线（续9）,3、以弧长和大地方位角为参数的大地线方程,大地线始点坐标,P,0,(B,0,L,0,)，,大地线上任何点的位置向量都可以展开成,S,A,的级数形式：,Frenet,标架的坐标轴定义：,x,指向大地线的切向,t,，,y,指向大地线的主法向,n,，,向内为正，,z,指向大地线的副法向,b，,构成左手系。,x,y,z,4,2.2.5 大地线（续10）,显然有：,根据曲线论中的,Frenet,公式：,由以上两式可求出各阶导数：,2.2.5 大地线（续11）,将上式代入大地线展开式 ，得,Frenet,标架下的三维坐标：,4,5,顾及公式：,2.2.5 大地线（续12）,和：,求导得：,2.2.5 大地线（续13）,代入,Frenet,标架下的三维坐标公式 ，得：,5,2.2.5 大地线（续14）,将坐标系饶,y,逆时针,旋转,A，,得,x,”,、y,”,、z,”,坐标系，,则有：,x,y,z,z,x,以,P,0,点为原点的地平坐标系(站心坐标系),x、y、z,，,与,x,”,、y,”,、z,”,坐标系,的关系为：,x,y,z,z,x,y,2.2.5 大地线（续15）,最后得到地平坐标系（站心系）中的大地线方程，称为,Weingarten,级数。,6,2.2.5 大地线（续16）,法截弧为平面曲线，其挠率为0，同理可推得地平坐标系中的计算式为：,2.2.5 大地线（续17）,4、基于大地线的椭球面曲线坐标系,(1).大地线极坐标系,大地圆：,到极点具有相同大地线长,度的点所构成的轨迹。,由大地线长度和大地方位角可描述,曲面点的位置 。,如图所示：,对照第一基本形式，得：,由图中的微分直角三角形，得大地极坐标系中的微分关系式：,2.2.5 大地线（续18）,大地线的归化长度,m,的计算公式：,由 式求出偏导数代入得：,6,2.2.5 大地线（续19）,(2).测地坐标系,以过,P,0,点的经线及其平行线为,v,曲线，过,P,0,点与经线正交的一族大地线为,u,曲线，构成的坐标格网称为,测地坐标系,测地坐标在,v,曲线方向,用,S,x,，,u,曲线方向,用,S,y,即：,2.2.5 大地线（续19）,n,称为测地平行线的归化长度因子。,由 式求出对,A,偏导数，并顾及,A=90，,得：,6,2.2.5 大地线（续20）,根据球面角超的定义，在球面直角三角形 中，球面角超为：,根据球面三角形的,Legendre,定理：,7,7,将 式代入上式，得：,2.2.5 大地线（续21）,代入测地平行线的归化长度因子公式，得：,精确到二次项时的归化长度因子计算公式为：,则与子午弧长相应的测地平行线的弧长为：,习 题,1.纬度相同的两个点的相对法截弧是否重合？此线是否就是大地线？,2.推导大地线的三个微分式。,3.试述测地坐标系的定义？测地平行线是否等距？测地大地线是否等距？,4.简述,weingarten,级数的推导步骤。,