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,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第三讲 泰勒公式,泰勒公式,一、泰勒公式,二、几个初等函数的麦克劳林公式,三、泰勒公式的应用,泰勒公式,一、泰勒公式,二、几个初等函数的麦克劳林公式,三、泰勒公式的应用,研究问题,多项式,余 项,简单,较复杂,误差,近似计算,理论分析,微分,?,一次多项式,p,1,(,x,),误 差,探究问题,令,令,令,令,p,n,(,x,),的确定,余项,R,n,(,x,),的确定,多次使用洛必达法则,泰勒,(Taylor),中值定理,1,如果函数,在,处具有,n,阶导数,那么存在,对于该邻域内的任一,x,，有,其中,函数,f,(,x,),按,(,x,-,x,0,),的幂展开的,n,次泰勒多项式,佩亚诺,余项,函数,f,(,x,),按,(,x,-,x,0,),的幂展开的,带有,佩亚诺,余项的,n,阶,泰勒公式,的一个邻域，,研究问题,多项式,余 项,简单,较复杂,误差,近似计算,理论分析,微分,定性,定量,拉格朗日中值定理,表达式,?,?,一次多项式,p,1,(,x,),误 差,探究问题,余项,R,n,(,x,),的确定,在,x,0,与,x,之间,),在,x,0,与,之间,),在,x,0,与,之间,),多次使用柯西中值定理,泰勒,(Taylor),中值定理,2,其中,这里,是,与,之间的某个值,.,函数,f,(,x,),按,(,x,-,x,0,),的幂展开的,n,次泰勒多项式,拉格朗日,余项,函数,f,(,x,),按,(,x,-,x,0,),的幂展开的,带有,拉格朗日,余项的,n,阶,泰勒公式,如果函数,在,的某个邻域,内具有,那么对任一,有,阶导数,函数的微分,拉格朗日中值公式,佩亚诺,(Peano),型余项,麦克劳林,(Maclaurin),公式,泰勒公式,一、泰勒公式,二、几个初等函数的麦克劳林公式,三、泰勒公式的应用,泰勒公式,一、泰勒公式,二、几个初等函数的麦克劳林公式,三、泰勒公式的应用,的麦克劳林公式,的麦克劳林公式,的麦克劳林公式,类似可得,的麦克劳林公式,的麦克劳林公式,泰勒公式,一、泰勒公式,二、几个初等函数的麦克劳林公式,三、泰勒公式的应用,泰勒公式,一、泰勒公式,二、几个初等函数的麦克劳林公式,三、泰勒公式的应用,三、泰勒公式的应用,(,一,),近似计算,(,二,),求极限,(,三,),其它应用,三、泰勒公式的应用,(,一,),近似计算,(,二,),求极限,(,三,),其它应用,原理,若,误差,在,内,应用,1),已知,x,和误差限,确定近似公式的项数,n,;,2),已知近似公式的项数,n,和,x,计算近似值并估计误差,;,3),已知近似公式的项数,n,和误差限,确定公式中,x,的适用范围,.,例,1,计算无理数,的近似值,使其误差不超过,例,2,(1),在区间,上用近似公式,计算,当用下列各式计算时,欲使误差,小于,0.001,，,A,可取多大？,(2),(3),4,2,2,4,6,4,2,0,2,4,6,三、泰勒公式的应用,(,一,),近似计算,(,二,),求极限,(,三,),其它应用,三、泰勒公式的应用,(,一,),近似计算,(,二,),求极限,(,三,),其它应用,例,3,求下列极限,(1),(2),注,高阶无穷小的性质,(,c,为常数,),三、泰勒公式的应用,(,一,),近似计算,(,二,),求极限,(,三,),其它应用,三、泰勒公式的应用,(,一,),近似计算,(,二,),求极限,(,三,),其它应用,例,4,设函数,在,上二阶可导,且,证明对于任意二数,及,恒有,:,例,5,证明不等式,
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