二次多项式近似及单变量最优化例题

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,*,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,二次多项式近似及单变量最优化例题,2、插值公式的推导：,设目的函数fx在三个点x1x2x3上的函数值分别为f1、f2、f3要用一个二次多项式近似这三个函数值的关系。,设这个二次多项式的形式为 :,下标2代表二次多项式,f,1,f,3,f,2,X1 x2 x3,对于P2x 这个函数其极值点易求。,根据一阶导数为零解出：,假设,有极小值,那么,可见，只要求出二次多项式的系数,即可得到该函数的极值点，即原函数的近似极值点。,那么， ,与被近似的函数fx的点与对应点函数值之间的关系，可将函数值f x与点x代入近似函数P2x得到：,想方法消去,：,f,1,f,3,f,2,将式,得,：,3、二次插值法与黄金分割法的结合。,快速和高精度、往往是人们在求解最优化问题时所追求的目的，因此，二次插值法往往首先被采用。黄金分割法又非常可靠，因此更具吸引力。有人将两种方法结合，初始时，采用二次插值法，n次计算后仍未收敛，那么转入黄金分割法，这样，能保证找出最优解和最优值。,例题,单变量函数最优化应用举例：,例：有如下所示的两个串联加热器。用蒸汽加热某气体，要求参数如以下图：,要求：用、两个加热器和两种蒸汽，将气量为50000kg/h的气体，由70，加热到300,换热器1,换热器2,70,300,t,212,蒸汽,350,蒸汽,例题(第三次作业),：气体物性参数如下：,Cpc=.0.25kJ/kg， Wc=50000kg/h,蒸汽的参数：排出蒸汽，212,a1= 0.210-6 元/kg 排出每kg热量的费用,高压蒸汽：350，a2 = 0.410-6 元/kg,换热器参数：K1=K2= 8kJ/m2h,设备费：a3= 1元/m2年换热面积增大，阻力增大)，,a42年(输送功率增大，费用增大,设备工作时间：,例题,求：使总费用最小时，气体分开加热器，进入加热器的温度t,解：一、问题的分析：,例题,影响总费用的因素：,蒸汽的费用：因为212蒸汽价格底，所以t增大，蒸汽费用降低,设备费用：显然t进步， 降低,设备费用增大,矛盾出在t的择优上，应建立总费用与t关系的数学模型，并求使总费用最小的t.,目的：总费用最小,换热器1,换热器2,70,300,t,212,蒸汽,350,蒸汽,例题,二、数学模型的建立：,设总费用为Z，f1为加热蒸汽费用，f2为设备费用，那么Z= f1 + f2,1、 加热蒸汽费用f1与t的关系。,设: 为加热器所用蒸汽费用,为加热器所用蒸汽费用,换热器1,换热器2,70,300,t,212,蒸汽,350,蒸汽,例题,蒸汽费用,=,换热负荷年工作时间蒸汽单价,换热器1,换热器2,70,300,t,212,蒸汽,350,蒸汽,例题,换热器1,换热器2,70,300,t,212,蒸汽,350,蒸汽,例题,2、,设备费用,f,2,与,t,的关系,：,设备费用由换热器费用,+,输送设备费用,换热器费用,=,换热器面积每平米换热器单价,设: 换热器1的面积为S,1,换热器的2面积为S,2,换热器1,换热器2,70,300,t,212,蒸汽,350,蒸汽,-,-,+,=,-,-,-,-,=,-,-,+,-,-,=,+,=,-,-,=,D,=,-,-,=,D,=,t,t,t,t,t,t,K,C,W,S,S,S,t,K,C,W,t,K,Q,S,t,K,C,W,t,K,Q,S,pc,c,II,I,pc,c,m,II,II,pc,c,m,I,I,212,350,ln,044,.,1,5,.,1562,300,350,350,212,70,212,ln,8,25,.,0,50000,300,350,350,ln,212,70,212,300,350,350,ln,212,70,212,ln,2,1,ln,换热器1,换热器2,70,300,t,212,蒸汽,350,蒸汽,例题,换热器费用,流体输送费用,例题,总费用,：,例题,三、约束分析：,对t的约束，t不可能低于70，也不会高于212,初始搜索范围是,四、模型求解：,用黄金分割法，精度要求自己给定，开场时可以给的大一些。,