数字信号的最佳接收2

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数字信号的最佳接收,一、引言,二、数字信号接收的统计表达式,三、最佳接收的准则,二、匹配滤波器,三、用匹配滤波器构成的最佳接收机,四、最佳接收机与实际接收机误码性能比较,1,引言,通信系统中信道特性不理想及信道噪声的存在，直接影响接收系统的性能，,而一个通信系统的质量优劣在很大程度上取决于,接收系统的性能,。,研究从噪声中如何最好地提取有用信号，且在某个,准则,下构成最佳接收机，使接收性能达到最佳，这就是最佳接收理论。,研究对象,接收问题,研究的问题,最佳接收或信号接收最佳化的问题,从数字信号接收统计模型出发，依据某种最佳接收准则，推导出相应的最佳接收机结构，然后再分析其性能,。,前面分析的问题是,给出接收机模型然后分析其性能,现在讨论的问题是,2 数字信号接收的统计表述,带噪声的数字信号的接收，实质上是一个,统计接收问题,，,也可以说数字信号接收过程是一个,统计判决过程,。从统计学的观点来看，数字信号接收可以用一个统计模型来表述,.,消息空间、信号空间、噪声空间、观察空间及判决空间分别,代表消息、信号、噪声、接收波形及判决的所有可能状态的,集合,在数字通信系统中， 消息是离散的状态， 设消息的状态集合为,X,=,x,1, x,2, ,x,m,若消息集合中每一状态的发送是统计独立的， 第,i,个状态,x,i,的出现概率为,P(,x,i,)，,则消息,X,的一维概率分布为,X,1,x,2,x,m,P(x,1,) P(x,2,) P(,x,m,),根据概率的性质有,若消息各状态,x,1, x,2, ,x,m,出现的,概率相等,，则有,消息是各种物理量， 本身不能直接在数字通信系统中进行传输,需要将消息变换为相应的电信号,s(t)，,用参数,S,来表示。,因此,将消息变换为信号可以有各种不同的变换关系，通常最直接的方法是,建立消息与信号之间一一对应的关系,，即消息,x,i,与信号,s,i,(i=1, 2， ， m),相对应。,这样，信号集合,S,也由,m,个状态所组成,即,S=s,1, s,2, ,s,m,并且信号集合各状态出现概率与消息集合各状态出现概率相等，即,.,.,.,同时也有,若消息各状态出现的概率相等， 则有,P(,s,i,),是描述信号发送概率的参数,通常称为,先验概率,， 它是,信号统计检测的第一数据,信道特性是,加性高斯噪声,信道，噪声空间,n,是加性高斯噪声。,在前面各章分析系统抗噪声性能时，用噪声的一维概率密度函数来描述噪声的统计特性,在本章最佳接收中，为了更全面地描述噪声的统计特性，,采用噪声的多维联合概率密度函数,。,噪声,n,的,k,维联合概率密度函数为,n,1, n,2, ,n,k,为噪声,n,在各时刻的可能取值,若噪声是高斯白噪声， 则它在任意两个时刻上得到的样值都是互不相关的，同时也是统计独立的,；,注意,若噪声是带限高斯型的，按抽样定理对其抽样，则它在抽样时刻上的样值也是互不相关的， 同时也是统计独立的,根据随机信号分析，若随机信号各样值是统计独立的，则,其,k,维联合概率密度函数等于其,k,个一维概率密度函数的乘积,，即,f,(,n,i,),是噪声,n,在,t,i,时刻的取值,n,i,的一维概率密度函数,若,n,i,的均值为零，方差为,2,n,，,则其一维概率密度函数为,噪声,n,的,k,维联合概率密度函数为,是噪声的方差，即功率,信号通过信道叠加噪声后到达观察空间， 观察空间的观察波形为,由于,n(t),是均值为零， 方差为,2,n,的高斯过程，则当出现信号,s,i,(,t,),时,y,(,t,),的概率密度函数,f,si,(,y,),可表示为,f,si,(y),称为,似然函数,，它是信号统计检测的,第二数据,根据,y(t),的统计特性，按照某种准则，即可对,y(t),作出判决， 判决空间中可能出现的状态,r,1, r,2, ,r,m,与信号空间中的各状态,s,1, s,2, ,s,m,相对应。,3 关于最佳接收的准则,在数字通信系统中，最直观且最合理的准则是,“最小差错概率”,准则,在通信中，由于噪声和畸变的作用，使接收发生错误，我们总期望错误接收的概率越小越好,原因,由于在传输过程中，信号会受到畸变和噪声的,干扰，发送信号,s,i,(t),时不一定能判为,r,i,出现，而是,判决空间的所有状态都可能出现。,以二进制数字通信系统为例分析其原理,问题,二进制数字通信系统，在噪声背景下按何种方法接收信号才能获得最小错误概率？,思路,先找出每一次判决总的平均错误概率,然后用求极值的方法，使 满足,找到最佳划分点，可得似然比准则为,当,时，得到的最大似然准则为,对于多进制情形，假定先验等概，最大似然准则可表示为,数字信号最佳接收的概念：,能使误码率最小的接收方式称为最佳接收，相应的接收机称为最佳接收机。,理论和实践都已证明：,在白噪声干扰下，如果线性滤波器的输出端在某一时刻上使信号的瞬时功率与白噪声平均功率之比值达到最大，就可以使判决电路出现错误判决的概率最小。,这样的线性滤波器称为匹配滤波器。,所以匹配滤波器是最大输出信噪声比意义下的最佳线性滤波器。用匹配滤波器构成的接收机是满足最大输出信噪比准则的最佳接收机，也称为匹配滤波器接收机。,4,匹配滤波器,匹配滤波器是指在白噪声为背景的条件下，输出信噪比最大的最佳线性滤波器。,（一）,匹配滤波器的传输特性,设匹配滤波器的输入信号：,根据线性叠加原理，匹配滤波器的输出信号：,求,付氏反变换可得到输出信号,输出噪声,的功率谱密度为,t,0,时刻的输出信号值为,t,0,时刻输出信号的瞬时功率为：,输出噪声的平均功率为：,在时刻,t,0,上匹配滤波器输出信号瞬时功率与噪声平均功率的比值为：,为上式的最大值，需要使用许瓦兹不等式：,只有当,和,成正比时，即,中等号成立，,时，上式,达到最大，为,根据许瓦兹不等式等号成立的条件可知，瞬时信噪比,达最大值,的条件是,（二）匹配滤波器的冲激响应,根据传输特性,与冲激响应,是一对付氏变换，,匹配滤波器的冲激响应为：,因此,1,t,2,t,t,（,a),),(,t,s,1,t,-,2,t,-,t,（,b),),(,t,s,-,t,（,c),),(,0,t,t,s,-,2,0,t,t,),(,0,t,t,s,-,),(,0,t,t,s,-,（,e),图,9.2.2,匹配滤波器的冲激响应,（三）匹配滤波器的输出波形,匹配滤波器的输出等于输入信号与冲激响应的卷积：,根据自相关函数是偶函数的特性：,从这个意义上来说，匹配滤波器可以看成一个计算输入信号自相关函数的相关器。,匹配滤波器的输出信号,在,时达到最大值：,输入信号进行处理，从而在,时刻形成输出信号的峰值。,这个结果再次说明，在,时刻之前，匹配滤波器对,例,1,已知信号,匹配滤波器的传输函数和匹配滤波器的输出信号波形。,如下图,(a),所示，求与之匹配的,解,:,式中,取信号的结束时刻值,，所以,其它,匹配滤波器的传输函数,是冲激响应,付氏变换，所以：,输出信号：,的自相关函数,为,所以,匹配滤波器输出波形,的波形图如图,(d),所示。,（四）匹配滤波器小结,1,匹配滤波器的传输函数,因此信号不同，对应的匹配滤波器也不同。也就是说，对某个信号匹配的滤波器，对其它信号就不是匹配滤波器了。,2,匹配滤波器传输函数与信号频谱有关，而信号频谱的幅频特性通常不为常数，,也就是说匹配滤波器的幅度特性通常是不理想的，所以信号通过匹配滤波器会产生严重的波形失真。,3,匹配滤波器只能用于接收数字信号。,对数字信号的传输而言，我们关心的是取样判决是否正确，不大关心波形是否失真，而匹配滤波器输出能获取最大信噪比，它有利于取样判决，减小误码率，所以匹配滤波器适合于接收数字信号。,因为匹配滤波器会使传输波形产生严重的失真，所以它不能用于模拟信号的接收。,说明最大输出信噪比仅与信号的能量及白噪声的功率谱密度有关，与信号的波形无关。但相同能量不同波形的信号，其匹配滤波器的传输函数是不同的。,4,匹配滤波器输出端的最大瞬时信噪比,表,9-2-1,匹配滤波器有关公式,（一）最佳接收机结构,二元数字信号的最佳接收机框图,5,用匹配滤波器构成的最佳接收机,当接收信号为,时，上支路,匹配滤波器,的输出为,时对输出进行取样，取样值达最大：,当接收信号为,时，下支路匹配滤波器的输出为,时对输出进行取样，取样值达最大，为,多元数字信号的最佳接收机框图,（二）二元数字信号最佳接收机的误码率,由于噪声的影响，最佳接收机在判决时也会发生错判，如发端发送,信号，接收机却判决为,信号。,接收机发生错判的可能性大小用误码率来衡量。,判决器的任务就是比较上下两支路积分值的大小并作出判决。判决规则如下：,（,2,）如果下支路的积分值大，判为,（,1,）如果上支路积分值大，判为,由于噪声的影响，判决器会发生错误判决，有两种错判情况：,2.,当发送端发送,，判决器判为,，此误码率记为,根据全概公式，最佳接收机的平均误码率为,:,，判决器判为,，此误码率记为,当发送端发送,求发,错判成,的概率,发,时，接收机输入信号为,上支路送给判决器的积分值为,下支路送给判决器的积分值为,令判决量,V,为上支路积分值减去下支路的积分值，即,V0,的概率就是发,错判成,的概率,求,V,的概率密度函数：,（,1,）,V,是一个高斯随机变量。,（,2,）,V,的均值为,上式中,是信号,的能量，,(3) V,的方差,所以高斯随机变量,V,的概率密度函数为,V0,的概率为：,求发,s2(t),错判成,s1(t),的概率,上支路送给判决器的积分值为,发,s2(t),时，接收机输入信号为,下支路送给判决器的积分值为,令判决量,V,为下支路积分值减去上支路的积分值，即,求,V,的概率密度函数可从以下三个方面考虑：,（,1,）,V,是一个高斯随机变量。,（,2,）,V,的均值为,(3) V,的方差,所以高斯随机变量,V,的概率密度函数为,V0,的概率为,:,得最佳接收机的误码率,:,(,三,),各类系统最佳接收机误码率,在基带系统中，已讨论了单极性基带系统、双极性基带系统的误码率。在调制技术这一章中，我们也介绍了,2ASK,、,2FSK,、,2PSK,、,2DPSK,各种解调方法的误码率。那么，如果用图,9.3.2,所示的最佳系统来接收它们，误码率会是多少呢？下面我们讨论这个问题。,由于,”,1,”,码、,”,0,”,码能量不等，,取两个能量的平均值，即,单极性信号,代入公式得单极性信号最佳接收机的误码率为：,1.,单极性基带信号,双极性信号的,双极性信号最佳接收机的误码率为,2.,双极性基带信号,前提条件：,”,1,”,、,”,0,”,等概，,”,1,”,码能量为,E,1,，,”,0”,码能量为,E,2,。,因此有,，所以一个码元内的平均能量为,2ASK,信号最佳接收机的误码率为,3.2ASK,信号,2ASK,信号可表示为,前提条件：,”,1,”,、,”,0,”,等概，,”,1,”,码能量为,E,1,，”,0”,码能量为,0,n,m,为正整数时。,此时，,2FSK,信号最佳接收机误码率为,4.2FSK,信号,2FSK,信号可表示为,前提条件：,”,1,”,、,”,0,”,等概，,”,1,”,码能量为,E,1,，”,0”,码能量为,E,2,。,5.2PSK,信号,2PSK,可表示为,2PSK,信号最佳接收机误码率为,前提条件：,”,1,”,、,”,0,”,等概，,”,1,”,码能量为,E,1,，”,0”,码能量为,E,2,。,可知，在,n,0,相同时，要达到,2PSK,的误码率，,2ASK,信号,”,1,”,码能量应为,2PSK,”,1,”,码能量的,4,倍，,2FSK,信号,”,1,”,码能量应为,2PSK,信号,”,1,”,码能量的,2,倍。显然，,2PSK,信号的误码性能是最好的，,2FSK,信号的误码性能次之，,三者之中,2ASK,的误码性能最差。这个结论与在一般接收机中得到结论是一致的。,及,如图,(1),所示，输入高斯噪声功率谱密度为,1.,画出匹配滤波器形式的最佳接收机结构；,2.,确定匹配滤波器的冲激响应及输出波形；,3.,求此最佳系统的误码率。,例,2,设到达接收机输入端的二进制信号,解（,1,）最佳接收机结构图,(2),所示。,匹配滤波器输出,（,2,）,(3),两个信号是等能量为,两个信号是等能量的，即,所以系统的误码率为,6,最佳接收机与实际接收机误码性能比较,实际接收机,最佳接收机,基带单极性,基带双极性,2ASK,2FSK,2PSK,