陕西理工学院：高等代数教学课件7.5对角矩阵

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,7.5 对角矩阵,对角矩阵 是矩阵中最简单的一种 哪些,A,(,L(V),在适当的基下,其矩阵是对角矩阵？若,A,在某基下的矩阵是对角矩阵，则称,A,可对角化,本节问题：什么样的线性变换可以对角化？,(,定理,1,),A,(L(V),dimV,=n),可对角化的,充要条件是：,A,有,n,个线性无关的特征向量,.,2 (定理8,),属于不同特征值的特征向量线性无关.,证明,：对特征值的个数n进行归纳.,仅一个特征值,1,时，据定义存在非零向量V，有,A,=,1,成立 显然线性无关.,设属于k个不同特征值的特征向量线性无关，现证属于k+1个不同特征值,1,k,k+1,的特征向量,1,k,k+1,线性无关.,设 a,1,1,+a,k,k,+a,k+1,k+1,=0 (1),给等式（1）两边同乘以,k+1,，得,a,1,k+1,1,+a,k,k+1,k,+a,k+1,k+1,k+1,=0 （2）,给等式（1）两边同施以线性变换,A,，得,A,（a,1,1,+a,k,k,+a,k+1,k+1,)=a,1,A,1,+a,k,A,k,+a,k+1,A,k+1,=a,1,1,1,+a,k,k,k,+a,k+1,k+1,k+1,=0,(3)由(3)(2)得 a,1,(,1,k+1,),1,+a,k,(,k,k+1,),k,+a,k+1,(,k+1,k+1,),k+1,=0,a,1,(,1,k+1,),1,+a,k,(,k,k+1,),k,=0 因,1,k,线性无关(归纳假定)可知 a,i,(,i,i,)=0,i=1,n 因特征值互异，即,i,i,0,i=1,n，故得 a,1,=a,k,=0 等式(1)为 a,k+1,k+1,=0 由,k+1,0 推出 a,k+1,=0 ,1,k,k+1,线性无关.,3,（,推论,1,）,A,L(V),dimV,=n,f,A,(),在数域,P,中有,n,个,不同的根，则可对角化,.,1,2,n,1,2,n,A,(,推论,2),A,L(V),dimV,=n,f,A,(),在复数域,C,中无重,根，则可对角化,.,证明思路与定理,8,相仿，对特征值的个数,k,进行归纳即可，此处从略,.,关键是正确理解意义,.,1,2,k,A,(L(V),作业,：P325 习题20.1)；3)；5)；7).习题21，23，24，P326 补充题3，4.,作业：P325 习题20.1)；3)；5)；7)，,习题21，习题23，习题24.,