第二章随机向量

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第二章随机向量,一、多元概率分布,一个向量，假设它的分量都是随机变量，那么称之为随机向量。,随机变量x的分布函数：,随机向量 的分布函数：,2,三、多元概率密度函数,一元的情形：,多元的情形：,多元密度,f,(,x,1,x,p,),的,性质,：,3,四、边缘分布,设x是p维随机向量，由它的q(0。,2设A为常数矩阵，b为常数向量，那么,当p=1时，上述等式就是我们熟知的如下等式：,14,设随机向量,x,=(,x,1,x,2,x,3,),的数学期望和协方差矩阵分别为,令,y,1,=2,x,1,x,2,+4,x,3,y,2,=,x,2,x,3,y,3,=,x,1,+3,x,2,2,x,3,试求,y,=(,y,1,y,2,y,3,),的数学期望和协方差矩阵。,15,例2.3.3 的分量之间存在线性关系以概率1。,在实际问题中，有时|=0，其原因是指标之间存在着线性关系，如某一指标是其他一些指标的汇总值，这在一般数据报表中是常出现的。我们通常可以通过删去“多余指标的方法来确保|0。因此，我们总假定 0并不失一般性，这样可保证1存在，从而可使数学问题得以简化。,16,3设A和B为常数矩阵，那么,4设 为常数矩阵，那么,17,推论,证明 先证推论，再证性质4,18,5设k1,k2,kn是n个常数，x1,x2,xn是n个相互独立的p维随机向量，那么,19,三、相关矩阵,随机变量,x,和,y,的,相关系数,定义为,的,相关阵,定义为,20,假设(x,y)=0，那么说明x和y不相关。,x=y时的相关阵(x,x)称为x的相关阵，记作R=(ij)，这里ij=(xi,xj),ii=1。即,R=(ij)和=(ij)之间有关系式：,R=D1D1,其中 ；R和的相应元素之间的关系式为,21,前述关系式即为,22,标准化变换,在数据处理时，常常因各变量的单位不完全一样而需要对每个变量作标准化变换，最常用的标准化变换是令,记 ，于是,即标准化后的协差阵正好是原始向量的相关阵。可见，相关阵R也是一个非负定阵。,23,矩阵代数的相关知识,24,1,定义,p,q,矩阵：,p,维列向量：,q,维行向量：,a,=(,a,1,a,2,a,q,),向量,a,的长度：,单位向量：,25,假设A的所有元素全为零，那么称A为零矩阵，记作A=0pq或A=0。,假设p=q，那么称A为p阶方阵，a11,a22,app称为它的对角线元素，其他元素aij(ij)称为非对角线元素。,假设方阵A的对角线下方的元素全为零，那么称A为上三角矩阵。显然，aij=0,ij。,假设方阵A的对角线上方的元素全为零，那么称A为下三角矩阵。显然，aij=0,i0，那么称A为正定矩阵，记作A0；假设对一切x，有xAx0，那么称A为非负定矩阵，记作A0。对非负定矩阵A和B，AB表示AB0；AB表示AB0。,36,正定矩阵和非负定矩阵的根本性质,(1)设A是对称矩阵，那么A是正定(或非负定)矩阵，当且仅当A的所有特征值均为正(或非负)。,(2)设A0，那么A的秩等于A的正特征值个数。,(3)假设A0，那么A10。,(4)设A0，那么A0，当且仅当|A|0。,(5)假设A0(或0)，那么|A|0(或0)。,(6)BB0，对一切矩阵B成立。,(7)假设A0(或0)，那么存在矩阵L 0(或0)，使得 L称为A的平方根矩阵，记作 。,(8)设A0是p阶秩为r的矩阵，那么存在一个秩为r(即列满秩)的pr矩阵B，使得A=BB。,37,平方根矩阵的性质,假设A为p阶对称矩阵，有谱分解,那么,有如下性质：,38,平方根矩阵的性质,39,汇报完毕,谢谢大家,!,请各位批评指正,40,谢谢观赏,