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Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二节 诱 导 公 式,三角函数的诱导公式,（1）三角函数的诱导公式,函数,角,正 弦,余 弦,正 切,+2k,（,k,Z,）,sin,cos,tan,-,-sin,_,-tan,+,-sin,-cos,_,cos,tan,函数,角,正 弦,余 弦,正 切,-,_,-cos,_,cos,_,cot,cos,_,-cot,sin,-tan,sin,-sin,（2）诱导公式的记忆方法与规律,记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”.（即公式中的角可以表示为 的形式，“奇、偶”是指k的奇偶性；“符号”是指把角看作是锐角时原函数值的符号）,可以分类记忆：函数名称“变与不变”，函数值的符号“变与不变”.,判断下面结论是否正确（请在括号中打“”或“”).,(1)sin(+)=-sin 成立的条件是为锐角.(),(2)诱导公式中的角可以是任意角.(),(3)若cos(n-)=(nZ)，则cos=.(),(4)诱导公式的记忆口诀中“函数名不变，符号看象限”中的符号与的大小无关.(),(5)若 则 (),【解析】,（1）错误.sin(+)=-sin,公式成立的条件是,为任意角.,(2）错误.对于正、余弦的诱导公式角可以为任意角，而对,于正切的诱导公式,(3)错误.当n为偶数时，,当n为奇数时，,(4)正确.诱导公式中“符号看象限”中的符号是把任意角都,看成锐角时原函数值的符号，因而与的大小无关.,(5)正确.,答案：,(1)(2)(3)(4)(5),1.已知sin(3+)=,则cos的值为(),(A)(B)(C)(D),【解析】,选D.由sin(3+)=sin(+)=-sin=,sin=,cos=,2.,的值是,(),(A)(B)(C)0 (D),【,解析,】,选,A.,3.,点,A,（,sin 2 012,cos 2 012),在直角坐标平面中位于,(),(A),第一象限,(B),第二象限,(C),第三象限,(D),第四象限,【,解析,】,选,C.sin 2 012=sin(6360-148),=sin(-148)=-sin 1480,cos 2 012=cos(6360-148),=cos(-148)=cos 1480.,故选,C.,4.,已知,tan(+)=3,则,_.,【,解析,】,tan(+)=3,tan=3.,原式,答案：,7,考向 1,利用诱导公式求值或求角,【典例1】,(1)已知 则等于,(),(A)(B)(C)(D),(2)已知 则,的值为(),(A)(B)(C)(D),（3）（2013铜陵模拟）已知sin 是方程5x,2,-7x-6=0的,根，则 =_.,【思路点拨】,(1)利用诱导公式及同角三角函数关系求解.,(2)利用诱导公式及对数运算可得tan,再利用同角三角函数,关系求sin 可解.,(3)先化简所给式子，由方程求出sin，然后再代入求值.,【规范解答】,（1）选D.由 得,即,又,(2)选B.由已知得 即,故cos=3sin,又,sin,2,+cos,2,=1,即,10sin,2,=1,又,-0,sin=-,(3),由,sin,是方程,5x,2,-7x-6=0,的根，可得 或,sin=2(,舍）,原式,由,可知,是第三象限或者第四象限角,.,当,是第三象限角时，故,当是第四象限角时，,所求式子的值为,答案：,【互动探究】,若将本例题（3）中的条件改为“若cos 是方,程5x,2,-7x-6=0的根”，则如何求所给式子的值.,【解析】,由cos 是方程5x,2,-7x-6=0的根，可得 或,cos=2(舍去）,原式=-tan,由 可知是第二象限或第三象限角.,当是第二象限角时，,当是第三象限角时，,故所求式子的值为,【拓展提升】,利用诱导公式解题的原则和步骤,（1）应用诱导公式化简的原则：,负化正、大化小，化到锐角为终了.,（2）诱导公式应用的步骤：,【提醒】,用诱导公式时不要忽略角的范围和三角函数的符号.,【变式备选】,已知,求 的值.,【解析】,考向 2,利用诱导公式化简、证明,【典例2】,（1）_.,(2),已知,为第三象限角,化简f()；,若 求f()的值.,【思路点拨】,（1）利用诱导公式化简即可.,(2)直接利用诱导公式化简；利用为第三象限角及同角三角函数关系的变形式得f()的值.,【规范解答】,(1)原式,答案：,-1,(2),-sin=,从而,sin=.,又,为第三象限角,即f()的值为 .,【互动探究】,将本例题(1)式子变为,如何化简?,【解析】,原式,【拓展提升】,1.利用诱导公式化简三角函数的思路和要求,（1）思路：分析结构特点，选择恰当的公式；利用公式化成单角三角函数；整理得最简形式.,（2）化简要求：化简过程是恒等变形；结果中项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值.,2.三角恒等式证明的常用方法,(1)从左向右证或从右向左证（一般从稍复杂的一边开始证明）.,(2)两边向中间证.,(3)证明一个与原等式等价的式子,从而推出原等式成立.,【变式备选】,(1)化简:,(2)求证:对于任意的整数k,【解析】,(1)原式,(2)当k=2n(nZ)时,原式,当,k=2n+1,（,nZ,）时，,原式,综上,考向 3,诱导公式在三角形中的应用,【典例3】,（1）（2013萍乡模拟）在ABC中，若sin(A+B-,C)=sin(A-B+C),则ABC必是(),(A),等腰三角形,(B),直角三角形,(C),等腰三角形或直角三角形,(D),等腰直角三角形,（,2,）在,ABC,中，,求ABC的三个内角.,【思路点拨】,（1）利用诱导公式将所给式子化简，再由三角函数值判断角的关系，最后得结论.,(2)利用诱导公式及三角形中角的范围，先确定A，从而求出B，C.,【规范解答】,（1）选C.sin(A+B-C),=sin(A-B+C),sin(-2C)=sin(-2B)，,sin 2C=sin 2B.,0C,0B,2C=2B或2C=-2B,B=C或,ABC为等腰三角形或直角三角形.,（2）由 得,sin A=cos A,即,tan A=1,又,0A,又由,得,又,0B,故,故,所以,ABC,中，,【拓展提升】,1.三角形中的诱导公式,在ABC 中常用到以下结论:,sin(A+B)=sin(-C)=sin C,cos(A+B)=cos(-C)=-cos C,tan(A+B)=tan(-C)=-tan C,2.,三角形中的隐含条件,【变式训练】,在,ABC,中，（,1,）求证：,（,2,）若,求证：三角形,ABC,为钝角三角形,.,【,证明,】,(1),在,ABC,中，,A,B,-C,(2),若,则,(-sin A)(-cos B)tan C0,即,sin Acos Btan C0,在,ABC,中,0A,0B,0C0,或,角,B与角C中有一角为钝角,故ABC为钝角三角形.,【易错误区】,整体代换思想不明致误,【典例】,（2013黄冈模拟）已知函数f(x)=asin(x+)+bcos(x+),且f(4)=3,则f(2 013)的值为(),(A)-1 (B)1 (C)3 (D)-3,【误区警示】,本题易出现的错误有两个方面：,（1）将x=4代入解析式后不会利用诱导公式转化或转化错误.,(2)将x=2 013代入解析式化简后，不会利用整体代换思想导致找不到解题思路.,【规范解答】,选D.f(4)=asin(4+)+bcos(4+),=asin+bcos=3.,f(2 013)=asin(2 013+)+bcos(2 013+),=asin(+)+bcos(+),=-asin-bcos=-(asin+bcos)=-3.,f(2 013)=-3.,【思考点评】,与函数有关的三角函数问题解题策略,1.一般是先化简函数关系式，如利用诱导公式或同角三角函数关系化简，然后再求值.,2.对于有条件的求值问题，应先利用已知条件整理化简得出关系式后整体代换得所求的值.,1.(2013阜阳模拟)sin600的值是(),(B)(C)(D),【解析】,选C.sin600=sin(360+240)=sin240,=sin(180+60)=-sin60=,2.（2013宜春模拟）已知,的值为(),(A)(B)(C)(D),【解析】,选D.,3.（2013宝鸡模拟）已知A为ABC的内角，且,则,sin A,的,值是,(),(A)(B)(C)(D),【解析】,选A.sin(-A)=sin(4-A),=-sin(+A)=-cosA=,cosA=,又0A,sinA=,4.(2013抚州模拟）若cos 130=a,则tan 50=_.,【解析】,cos 130=cos(180-50)=-cos 50=a,cos 50=-a(a0),答案：,5.(2013,汉中模拟）已知 则,=_.,【,解析,】,由已知，原式,原式,答案：,1.,若 则,cos(2-),的值是,_.,【,解析,】,由 得,答案：,2.已知关于x的方程 的两根为,则m=_.,【解析】,sin(5-)=sin 4+(-)=sin,由已知可得,sin,cos 是方程的两根，,故,式平方得,由得,答案：,随着年岁的叠加，我们会渐渐发现：越是有智慧的人，越是谦虚，因为昂头的只是稗子，低头的才是稻子；越是富有的人，越是高贵，因为真正的富裕是灵魂上的高贵以及精神世界的富足；越是优秀的人，越是努力，因为优秀从来不是与生俱来，从来不是一蹴而就。随着沧桑的累积，我们也会慢慢懂得：成功的路，其实并不拥挤，因为能够坚持到底的人实在太少；所有优秀的人，其实就是活得很努力的人，所谓的胜利，其实最后就是自身价值观的胜利。人到中年，突然间醒悟许多，总算明白：人生，只有将世间的路一一走遍，才能到尽头；生活，只有将尘世况味种种尝遍，才能熬出头。这世间，从来没有最好，只有更好。每天，总想要努力醒得比太阳还早，因为总觉得世间万物，太阳是最能赐人力量和能量的。每当面对喷薄的日出，心中的太阳随之冉冉腾起，生命之火熊熊燃烧，生活的热情就会光芒四射。我真的难以想象，那些从来不早起的人，一生到底能够看到几回日升？那些从来没有良好习惯的人，活到最后到底该是多么的遗憾与愧疚？曾国藩说：早晨不起，误一天的事；幼时不学，误一生的事。尼采也说：每一个不曾起舞的日子，都是对生命的辜负。光阴易逝，岂容我待？越是努力的人，越是没有时间抱怨，越是没有工夫颓丧。每当走在黎明的曙光里，看到那些兢兢业业清洁城市的“美容师”，我就会由衷地欣赏并在心底赞叹他们，因为他们活得很努力很认真。每当看见那些奔跑在朝霞绚烂里的晨练者，我就会从心里为他们竖起大拇指，因为他们给自己力量的同时，也赠予他人能量。我总觉得：你可以不优秀，但你必须有认真的态度；你可以不成功，但你必须努力。这个世界上，从来没有谁比谁更优秀，只有谁比谁更努力。我也始终认为：一个活得很努力的人，自带光芒万丈；一个人认真的样子，比任何时候都要美好；一个能够自律自控的人，他的人生也就成功了大半。世间每一种的好，从来都只为懂得努力的人盛装而来。有时候，我真的感觉，人生的另一个名字应该叫做努力，努力了就会无悔，努力了就会无愧；生活的另一种说法应该叫做煎熬，熬过了漫漫黑夜，天就亮了，熬过了萧萧冬日，春天就来了。人生不易，越努力越幸运；余生不长，越珍惜越精彩。人生，是一本太仓促的书，越认真越深刻；生命，是一条无名的河，越往前越深邃。愿你不要为已逝的年华叹息，不要为前路的茫茫而裹足不前愿你相信所有的坚持总能奏响黎明的号角，所有的努力总能孕育硕果的盛驾光临。愿你坚信越是成功的人越是不允许自己颓废散漫，越是优秀的人越是努力生活中很多时候，我们遇到一些复杂的情况，会很容易被眼前的
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