第四章 向量与矩阵的秩

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四章 向量与矩阵的秩,本章介绍了向量，向量空间概念，讨论了向量的线性相关性，最大无关组，向量组的秩，矩阵的秩等概念和问题，并给出了用初等变换求向量组秩，矩阵秩的一种有效方法。,4.1,向量的概念,定义,1,如果数的集合,F,包含,0,和,1,，则数的加法和乘法满足交换律，结合律及分配律，并且,F,中任何两个数的和，差，积，商（除数不为,0,）仍在,F,中，那么称,F,是一个,数域,。,可以验证，全体有理数集,Q,构成数域，通常称为有理数域,Q,；同样，全体实数,R,构成实数域,R,，全体复数集,C,构成复数域,C,。再如，,构成数域。,但自然数集,N,，整数集,Z,不能构成数域。,向量,定义,2,：数域,F,上,n,个数 所组成的有序数组 叫做数域,F,上,n,维向量。,叫做向量,的第,i,个分量（或坐标）。,注意：无特别说明，本章数域中的数均指实数。,在空间解析几何中,，以坐标原点,O,（,0,0,0),为起点，以点,P,（,x,y,z,),为终点,的有向线段所表示的向量 就是一个,3,维向量，这里点（,x,y,z,),与向量,x,y,z,用两种不同的括弧以示点与向量之区别，,而在代数中,，向量常用,圆括弧表示，在不致混淆的情况下，可用（,x,y,z,）表示 。,又比如工程上研究导弹飞行状态，用导弹的质量,m,，空间坐标（,x,y,z,),和,速度分量 等,7,个分量组成的一个,7,维向量,来表示。,例一 线性方程组,中第,i,个方程,可用,n+1,维向量 与其对应表示。,矩阵,称为矩阵,A,的,第,i,（,i,1,2,m),个行向量,，它是一个,n,维向量。,的第,i,行,矩阵,A,的第,j,列,称为矩阵,A,的,第,j,列向量,，它是一个,m,维向量。,就称这,两个向量相等，记为,定义,3,向量相等,：设向量,如果它们各个对应分量相等，即,零向量,：分量全为零的向量 称为零向量。,负向量,：向量,的负向量是指,记作,向量运算及性质,定义,4,（向量加法）,设,n,维向量 ，定义,向量,与,的加法为 为向量,与,之和。,由向量加法和负向量定义可得,向量减法,定义,5,（数乘向量）,设,为数域,F,中的数，向量,为数域,F,上的,n,维向量，那么数,与向量,的乘积定义为,记作,或,。,解,根据定义及运算性质,例,2,设,求,4.2 n,维向量空间,数域,F,上全体,n,维向量所组成的集合,：,中向量加法与数乘向量运算称为 中向量线性运算，它满足下列八条运算规律。,设向量 ，数 ，,则,向量加法,满足：,数乘,满足：,加法和数乘满足分配律：,另外，根据线性运算定义还可得出如下性质：,定义,6,设,V,是数域,F,上的,n,维向量的集合，如果集合,V,非空，且集合,V,对于加法及数乘两种运算封闭，那么,就称集合,V,为向量空间,说明,:,集合,V,对于加法及数乘两种运算封闭指,若,F,为实数域，则称,V,为实向量空间；若,F,为复数域，则称,V,为复向量空间,易知：全体三维向量的集合,构成一个向量空间,部分三维向量的集合,也都构成向量空间，,但部分三维向量集合,不构成向量空间,，因为它不满足定义第,2,点。,一般，数域,F,上全体,n,维向量所成集合,对其定义的向量加法和数乘向量运算满足：,(1),向量加法封闭，即若 ，有 。,(2),数乘向量封闭，即若 ，有 ，,故称非空集合 为向量空间,。,例,3,验证,n,维向量集合,集合 构成向量空间，集合 不构成向量空间,。,解,(1),非空，又若 ，则 ，,于是 ，,从而 。,同样，任給 ，,有,从而 ，故 构成向量空间。,（,2),由于 ，则 ，,那么 ，但,得 ，故数乘运算不封闭，不构成,向量空间。,说明：,对,n,分别取,1,2,3,时，分别表示数轴,R,上一个,原点，平面 上一条过原点的直线（二，四象限对,角线），空间 中过原点的一个平面；,而 分别表示数轴,R,上点,1,平面 上不过原,点的直线 ，空间 上不过原点的平面且在三,坐标轴截距为,1,的平面 。,4.3,向量组的线性相关性,在第一节例,2,中，向量 就是向量 ，的一个线性组合，又 ，这时又称向量 可由 线性表示，一般的有,定义,7,设,n,维向量 ，如果有一 组数,使,则说向量 是 的线性组合，或可说,可由 线性表示。,例四 线性方程组,4,个方程分别可用向量表示为,由于,即 可由 表示，也可由 表示。,那么原方程组与 对应组成的方程组,同解,，,有了这一关系，今后在不改变原方程组系数情况下，,可简化方程的求解。,例五 线性方程组,可写成,由上式可见，方程组（,I),有解的充要条件是：,右端常数列向量可由系数矩阵的列向量线性表示。,（,I,）,例六,n,维向量组称为,中,n,维单位向量组,，显然，中任一向量,可表示为,即向量 可由 线性表示，且表示系数就是,向量 的各分量,又若有数 ，使：,则,即,这时，我们把具有这种性质的向量组：,称为,线性无关向量组,定义,8,设有向量组：，如果存在一组不全为,零的数 ，使,则称向量组,线性相关,，否则，称,它们,线性无关,向量组（同维向量组成的集合）不是线性相关就是线性,无关，所谓线性无关，换句话说就是,定义,9,设有向量组 ，若,只有在 时才成立，这时称向量组,线性无关,。,例,7,讨论向量组 的线性相关性,解,设有数 ，使 ，即,于是,解之得,令,，得 ，从而得一组不全为,0,的数，使,，故 线性相关。,（或由于：，所以 ，线性相关。）,例八,齐次线性方程组,可写成,它有非零解的充要条件是系数矩阵的列向量组线性相关,例九 设 线性无关，,试证：也线性无关。,证明,设有数 ，使 ，,即,也就是,由于 线性无关，,则,故 线性无关。,定理一 设向量组 线性无关，而向量组,线性相关，则 能由,线性表示，且表示式是唯一的。,定理二,向量组 线性相关，则向量,组中至少有一向量可由其余,s-1,个向量线性表示。,注意,一个向量 线性相关当且仅当 为零向量。,含零向量的向量组线性相关。,定理三,当,mn,时，任意,m,个,n,维向量线性相关。,推论,取,m,n,1,可得，任意,n+1,个,n,维向量一定线性相关,由推论知，在几何空间 中任意四个向量线性相关，在,平面 中任何三个向量线性相关。,定理四,设 与 是两个向,量组，如果,（,1),向量组 可以经,线性表出；,（,2)rs,。,那么，向量组 必线性相关。,推论,如果向量组 可以经向量组,线性表出，且 线性无关，那么,4.4,向量组等价,引例,：,在几何空间 中，向量组,A,为单位基本向量组：,向量组,B,为：。,向量组,A,与向量组,B,有关系：,（,1),向量组,B,中向量 都可由向量组,A,中向量线性表出；,（,2),向量组,A,中向量 也都可由向量组,B,中向量线性表出，,且表出关系为,像这种能相互线性表出的向量组称为,等价向量组,。,定义,10,设有两个,n,维向量组,如果向量组,A,中的每个向量都能由向量组,B,的向量线性,表示，则称,向量组,A,能由向量组,B,线性表示,。,如果向量组,A,能由向量组,B,线性表示，且向量组,B,也能,由向量组,A,线性表示，则称,向量组,A,和向量组,B,等价,；,记作,向量组之间的等价关系具有下列性质：,（,1),反身性：,A,组与,A,组自身等价，即,（,2),对称性：若,A,组与,B,组等价，则,B,组与,A,组等价，,即若 ，则 ；,（,3),传递性：,若向量组,A,与向量组,B,等价，向量组,B,与向量组,C,等价，则向量组,A,与向量组,C,是等价的。,即若 ，则 。,数学中，把具有反身性，对称性，传递性这三条性质的关系称为对称关系。,例,10,设,，,，,，,，,记,A,的行向量为,，则,易知，中行向量组均与,A,的行向量组 等价。,由例,10,我们可以得到更一般的结论：,定理五 阶矩阵,A,经过有限次初等行变换变成矩阵,B,，,则,矩阵,A,的行向量组与矩阵,B,的行向量组等价,，而且,A,中的任,意,k,个列向量与,B,中对应的,k,列向量有相同的线性相关性。,推论,矩阵,A,经有限次初等列变换变成,B,，则矩阵,A,的,列,向量组,与矩阵,B,的,列,向量组等价，而,A,的任意,k,个,行,向量与,B,中对,应的,k,个,行,向量有相同的线性相关性。,例,11,设 ，满足：,A=PB,，,P,为,m,阶可逆矩阵，则矩阵,A,的行向量组,与矩阵,B,的行向量组等价。,证明,P,为,m,阶可逆矩阵，则,P,可表示成有限次初等方阵之积，,即,于是,相当于,B,经有限次初等行变换 变成矩阵,A,，,由定理,5,得知：矩阵,A,与,B,的两行向量等价。,4.5,极大无关组,在向量空间 中，我们知道，单位向量组,线性无关，且对 中任一向量 ，均可由 线性表,示，那么，,称向量组 为向量集 的一个,极大无关组,。,一般地，我们可定义向量组,T,的一个极大无关组如下：,定义,11,向量组,T,中有,r,个向量 ，满足：,（,1),向量组 线性无关；,（,2),向量组,T,中任意一个向量均可由 线性表示。,这时，称向量组 是向量组,T,的一个,极大线性无关组,，,简称,极大无关组,，也可称,最大无关组,。,从定义可知，,向量组,T,与它的极大无关组等价。,例,12,（,1)n,维向量空间 中的单位向量组 是空间,中的一个极大无关组。,（,2),设向量组,T,为 ，则可,验证 线性无关，即 可由,线性表示，从而 为向量组,T,的一个极大无关组。,同样，,也是向量组,T,的一个极大无关组。,思考,：是否为向量组,T,的一个极大无关组？,例,13,设 是三维向量空间 中以原点为起点，终点落在平面,上所有向量的集合，求 的一个极,大无关组。,解,由于,显然 是 中向量，,线性无关。,又设 是 中任一向量，则 ，,有 。,于是 可由 线性表出，且表出关系式为,所以向量 为向量集 的一个极大无关组。,从上两例知，一向量组,T,的极大无关组不一定是唯一的，但向,量组,T,的每个极大无关组所含的向量个数是否相等呢？,答案是,肯定,的。,为了回答这个问题，我们先证一个重要的定理。,定理六 设有两个,n,维向量组,（,1),若,A,组线性无关，且可由,B,组线性表示，则 ；,（,2),若,A,组线性无关，,B,组也线性无关，且,A,组与,B,组等价，则,r,s,。,定理七 设向量组,A,与向量组,B,是向量组,T,的两个极大无关组，则,向量组,A,与向量组,B,等价且,A,中所含向量个数等于,B,组所,含向量个数。,由定理七知，,一个向量组,T,含一个极大无关组或含有两个,以上极大无关组，它的每个极大无关组所含向量个数相同,。,定义,12,向量组,T,的极大无关组所含向量个数称为,向量组的秩,，,记作,秩,(T),或,rank(T,),简记,r(T,),。,这里规定仅含有零向量的向量组的秩为零。,例,14,设向量组,A,求向量组的秩。,解,因易知 线性无关，而,故知，为向量组,A,的一个最大无关组。,从而知,r(A,)=2,定理八 两个,n,维向量组,A,B,有,（,1),如果组,A,可由组,B,线性表示，则 ；,（,2),如果组,A,与组,B,等价，则,r(A,)=,r(B,),4.6,矩阵的秩,矩阵的秩是刻画矩阵内在特性的重要概念，它能使我们深刻认识矩阵确定向量的相关性或无关性，建立线性方程组的理论等。,定义,13,矩阵,的行向量组成的向量组的秩，称为矩阵,A,的,行秩,记作,r(A,),。,它的列向量组成的向量组的秩，称为矩阵,A,的,列秩,，记作,c(A,).,如矩阵,，,它的行向量组,易知 为一个最大无关组，从而,r(A,)=2,。,它的列向量组,同样可知 为极大无关组，故,c(A,)=2,。,对矩阵,A,有,r(A,)=,c(A,)=2,定义,14,在一个 矩阵,A,中任意选定,