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单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,（第一课时）,教学目标：,1、掌握等差数列定义和通项公式;,2、提高学生的归纳、猜想能力;,3、联系生活中的数学。,教学重点与难点：,难点对等差数列特点的理解、把握和应用,重点掌握对数列概念的理解、数列通项公式的推导及应用,一、由具体例子归纳等差数列的定义,看下面的数列：,4，5，6，7，8，9，10 ；,3，0，3，6，；,下面是全国统一鞋号中成年女鞋的各种（表示鞋长、单位是cm）,21，21 ，22，22 ，23，23 ，24，24 ，25;,一张梯子,从高到低每级的宽度依次为（单位cm）,40，50，60，70，80，90，100；,每级之间的高度相差分别为,40，40，40，40，40，40.,从第2项起，每一项与前一项差都等于1,这就是说，这些数列具有这样的共同特点：,从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。,从第2项起，每一项与前一项差都等于3,从第2项起，每一项与前一项差都等于10,从第2项起，每一项与前一项差都等于0,问：这5个数列有什么共同特点？,从第2项起，每一项与前一项差都等于,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,数学语言：,a,n,a,n1,=d,（d是常数，n2，nN,*,）,定义：,一般地，如果一个数列,从第2项起,，,每一项与它的前一项的差等于同一常数,，那么这个数列就叫做等差数列,通常用A,P表示。,这个常数叫等差数列的公差，用字母d表示。,二、由定义归纳通项公式,a,2,a,1,=d，,a,3,a,2,=d，,a,4,a,3,=d，,.,则 a,2,=a,1,+d,a,3,=a,2,+d=a,1,+2d,a,4,=a,3,+d=a,1,+3d,由此得到,a,n,=a,1,+(n1)d,a,n1,a,n2,=d,a,n,a,n1,=d.,这（n1）个式子迭加,a,n,a,1,=(n1)d,当n=1时，上式两边均等于a,1,，即等式也成立的。这表明当nN,*,时上式都成立，因而它就是等差数列a,n,的通项公式。,三、巩固通项公式,a,n,=a,1,+(n1)d(nN,*,),（一）求通项a,n,若已知一个等差数列的首项a,1,和公差d，即可求出a,n,例如：a,1,=1,d=2,则,a,n,=1+(n1),2=2n1,已知等差数列8，5，2，求 a,n,及a,20,解：,a,1,=8,d=58=3,a,20,=49,a,n,=8+(n1)(3)=3n+11,练习：已知等差数列3，7，11，,则 a,n,=_ a,4,=_,a,10,=_,a,n,=a,1,+(n1)d(nN,*,),4n-1,15,39,(二)求首项a,1,例如：,已知a,20,=49,d=3 则，,由a,20,=a,1,+(201)(3),得a,1,=8,练习：a,4,=15 d=3 则a,1,=_,6,a,n,=a,1,+(n1)d(nN,*,),(三)求项数n,例如：,已知等差数列8，5，2问49是第几项?,解：a,1,=8,d=3,则 a,n,=8+(n1)(3),49=8+(n1)(3),得 n=20.,是第20项.,a,n,=a,1,+(n1)d(nN,*,),问400是不是等差数列5，9，13,的项？如果是，是第几项？,解：a,1,=5,d=4 a,n,=5+(n1)(4),则,由题意知，本题是要回答是否存在正整数n，使得 401=5+(n1)(4)成立,所以400不是这个数列的项,a,n,=a,1,+(n1)d(nN,*,),解之得 n=,4,399,解2：这些三位数为100，101，102，999可组成首 项a,1,=100，公差d=1，末项为a,n,=999的等差数列。由 a,n,=a,1,+(n1),1得999=100+（n1）,1 n=999100+1=900,练习：1,0,100是不是等差数列2，9，16，的项？如果 是，是第几项？如果不是，说明理由.,2,0,在正整数集合中，有多少个三位数？,3,0,在三位正整数集合中有多少个是7的倍数？,a,n,=a,1,+(n1)d(nN,*,),解3：这些数组成首项a,1,=105,公差 d=7的等差数列。a,n,=105+(n1),7 又a,n,999 即 105+(n1),7999 解得 n128nN,*,n最大为128，故共有128个。,7,5,解1,:,a,1,=2,a,2,=9,a,3,=16,d=7,a,n,=2+(n-1)=100,n=15.是第15项.,(四)求公差d,例如 一张梯子最高一级宽33cm，最低一级宽110cm,中 间还有 10级，各级的宽度成等差数列。求公差d及中间各级的宽度。,分析：用a,n,表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列。,由题意知 a,1,=33,a,12,=110,n=12,由 a,n,=a,1,+(n-1)d 得 110=33+(12-1)d 解得 d=7,从而可求出 a,2,=33+7=40 a,3,=40+7=47 a,4,=54。,总结：在,a,n,=a,1,+(n1)d nN,*,中，有a,n,a,1,n,d 四个量,已知其中任意3个量即可求出第四个量。,那么如果已知一个等差数列的任意两项，能否求出a,n,呢？,a,n,=a,1,+(n1)d(nN,*,),（五）小综合,在等差数列a,n,中已知a,5,=10,a,12,=31,求a,1,、d及a,n,a,n,=2+(n1),3=3n5,知识延伸：,由定义，可知：,a,6,=a,5,+d,a,7,=a,6,+d=a,5,+2d=a,5,+(75)d,a,8,=a,7,+d=a,5,+3d=a,5,+(85)d,a,12,=a,5,+(125)d,猜想：任意两项a,n,和a,m,之间的,关系：,a,n,=a,m,+(nm)d,证明：a,m,=a,1,+(m1)d,a,n,=a,1,+(m1)d+(nm)d,=a,1,+(n1)d,本题也可以这样处理：,由a,12,=a,5,+(125)d,得 31=10+7d d=3,又 a,5,=a,1,+4d a,1,=2,解：由a,n,=a,1,+(n1)d,得 a,5,=a,1,+4d=10 a,1,=2,a,12,=a,1,+11d=31 d=3,练习：等差数列a,n,中,已知 a,3,=9,且 a,9,=3,则 a,12,=_,课后思考：,能否对上面的结论进行推广：,若a,p,=q 且a,q,=p(pq)则a,p+q,=0?,0,四、能力培养：,两个等差数列5，8，11，和3，7，11，都有100项，,求：这两个数列相同项的个数,解法一：已知两个等差数列 a,n,:5，8，11，公差为3,b,n,:3，7，11，公差为4,通项公式分别是a,n,=5+(n1),3=3n+2,b,n,=3+(n1),4=4n1,假设a,n,的第n项与b,n,的第k项相同，即 a,n,=b,k,则 3n+2=4k1 n=k1 nN,*,k必是3的倍数,k=3,6,9,12,，组成新的等差数列c,n,而相应的 n=3,7,11,15,，组成新的等差数列d,n,即 a,3,=b,3,a,7,=b,6,a,11,=b,9,a,15,=b,12,，,又因为这两个数列最多只有100项，所以,c,n,=3+(n1),3100 n100/3=33,n25,d,n,=3+(n1),4100 n101/4=25,又 nN,*,这两个数列共有25项相同。,3,1,4,1,4,1,解法二：已知两个等差数列a,n,：5，8，11，,和b,n,：3,7,11,则 通项公式分别是a,n,=5+(n1),3,b,n,=3+(n1),4,观察：,5，8，,11,，14，17，20，,23,，26，29，32，,35,，38，41，,3，7，,11,，15，19，,23,，27，31，,35,，39，43，47，51，,因此，这两个数列相同项组成一个首项c,1,=11,公差,d=12的等差数列c,n,又 a,100,=5+(1001),3=302 b,100,=3+(1001),4=399,因为，相同的项不大于a,100,和b,100,中的较小者，,所以，c,n,=11+(n1),12302 得 n25 又 nN,*,故这两个数列中相同的项共有25个。,4,1,五、要点扫描：,本节课主要学习,等差数列的定义：“从第2 项起，后项,与前一项差为常数”,通项公式：a,n,=a,1,+(n1)d （nN,*,）,六、作业：,P,118,1,2,4,5,另：已知两个等差数列5，7，9，和,3,6，9，共有100项。,求这两个数列相同项的个数。,
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