罗斯贝波的传播与演变

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,Chp,13,Rossby,波的传播与演变,1,在自然科学的许多领域内，因为控制方程的非线性，变系数，边界条件的复杂性等原因，很多问题都难以求得精确的解析解。为了寻求方程解的一些信息，只得求助一些大家熟知的近似解法（级数解法，小扰动方法）和数值解法；或者两者合用。,近似方法中最主要的是摄动方法，针对非正则摄动问题，又发展出了多尺度方法，它们在频散波的能量传播和,Rossby,波共振相互作用等方面已有广泛应用，取得了不少成果。,2,13.1,摄动方法与多尺度方法,、摄动方法（,WKB,方法）,奇异摄动理论实为一庞杂体系，这里只是简化其思路和步骤，再由实例加以运用：,对方程和定解条件进行,无量纲化,；,选取一个合适的摄动量，它是一个,无量纲的小（或大）参数,；,将方程的解,按此小参数展开,成幂级数,将级数代入到无量纲方程，可得到关于小参数的各级近似方程，进而 可确定幂级数的各个系数,；,若是正规（则）摄动问题，对级数进行,截断,，便得到原方程的渐进解,对于合理的小参数，若在整个区域中满足：渐进展开式的相邻两项中，后项量级小于前项量级，即渐进解在区域上是一致有效的，则这一摄动问题称为,正规摄动问题,。反之，渐进解在区域上非一致有效的问题，称为,奇异摄动问题。,3,二、下面用实例具体说明如何用摄动方法对基本方程组进行简化,：,引入位势,，正压原始方程组（浅水方程组）可以写为：,（,11.18,）,首先，要对,（,11.18,）,作无量纲化处理，用*量表示无量纲量。对于中纬度大尺度运动，时间尺度取平流时间尺度（,），扰动位势取地,转尺度,（,），取,平面近似（,故可取：,）。,（,11.19,）,4,将,（,11.19,）,代入,（,11.18,）,进行无量纲化，例如对第一式：,，可改写为：,两端除以,，得到：,类似的，可对,（,11.19,）,其余两式进行无量纲化，总之，有如下的无量纲方程组：,（,11.20,）,其中,具有长度的量纲，称为,Rossby,变形半径，在中纬度,取值约,3400km,。,5,罗斯贝数是大尺度运动中最重要的无量纲参数。由以上分析知道,，是一个小参数，故这里就取其为摄动量。,将方程组（,11.20,）的解,按小参数展开为幂级数：,倘若这些级数中的各系数,则解就明确了！下一步就是做此事：,(11.21),可以求出，,将,（,11.21,）,代入,（,11.20,），,例如代入第一式中，有：,6,既有：,将,相同幂次的项合并在一起（这里从略），若取零级近似（,的项），则有：,零次幂,这就是,（,11.22,）,的第一式,若取一级近似（取,的一次方项而略去高次幂项），则有：,这就是,（,11.24,）,的第二式,这样，就达到了简化方程组的目的。总之，有零级近似：,（,11.22,）,7,其物理意义是很明显的：,中纬度大尺度运动最基本的特征，是运动满足地转风关系和水平无辐散关系,：（,11.22,）,中有：,将,（,11.22,）,写到有量纲形式的方程组，为：,（,11.24,）,注意：上述零级近似方程组中不含,项，故不能描述流场随时间的演,变过程，而一级近似却能解决这一问题，前面推了一级近似第一个方,程，其余类推（具体推导中要利用上页,的性质）：故,有一级近似：,8,（,11.24,）,但,（,11.24,）,中含有下标为“,1”,的量，但是这可以消去。作运算,可得：,，,再将,（,11.22,）,的第三式代入，有无量纲涡度方程：,（,11.25,）,9,显然，由,1,与,2,得到的上述,（,11.25,）,与,3,构成了二联闭合方程组，写为有量纲式，为：,（,11.26,）,称为,正压准地转方程组,，其特点是涡度方程和连续方程中除散度外，取了地,转近似。其中,，是,地转流函数。,得,正压准地转位势涡度守,恒关系,：,（,11.27,）,10,三、多尺度方法简介,（,1,）基本概念,用,WKB,法简化方程组很有用，但是不能适应于任何情况，例如当渐近解在区间内出现非一致有效（渐近级数发散）时就不行了，称,奇异摄动,。如,（,13f.11,）阻尼系数为,的线性阻尼谐振方程,现取,为小参数：,，则按摄动法，可设解为：,-,（,13f.12,）,下面将代入（,13f.11,），然后按,的各次幂项整理合并。,11,分别令,的各次幂项系数为,0,，则分别得出各级近似如下：,：,（,13f.13,）,下标为,0,表示零级近似,：,（,13f.14,）,一级近似的方程中仍含有带有下标为,0,的,项,：,（,13f.15,）,易知,，（,13f.13,）,的通解为：,（,13f.16,）,由此可得：,，代入,（,13f.14,）,右边：,（,13f.17,）,类似的,，（,13f.17,）,又代入,（,13f.15,）,右边，又可以求出：,（,13f.18,）,12,故按,（,13f.12,），,原始方程,（,13f.11,）,的解为：,（,13f.19,）,考虑（,13f.19,），后项与前项之比为：,按级数收敛要求，此比值不应超过,O,（,1,）的大小，但是现在比值为,可见，只要,t,取到,，比值就达到,O,（,1,），,t,再增加，,，,则比值就,O(1),可见，,t,越大，,越大，故是发散的。,结论：,时，两相邻项的比值变为无界，这种项称为,久期项,。怎么办？,从数学上讲，（,13f.11,）的精确解已经解决了（,简谐振荡解,）：,13,。换言之,，（,13f.21,）,中不仅,可见，在,（,13f.21,）,中，当且仅当（,（,13f.20,）,作级数展开：,（,13f.21,）,（,13f.22,）,）为小量时，才可用有限项来逼近,为小量，而是（,）,作,为一个,变量来考虑：,（,13f.23,）,同样,，（,13f.22,）,中也应该把（,）看成一个变量,，当,为小,量时，才可能用有限项逼近,，则,（,13f.20,）,中，振幅是取,决于,（,）,，而位相取决于,，,两者是变化快慢不同的两个,过程。,14,15,总之，,x,依赖于不同的时间变量,以及,本身，故可取,即：,不同的时间变量,（,n,1,，,2,，,3.,）,这就是,多尺度方法,，实际上是同时考虑了快过程和慢过程。,就是波数,k,对,t,求导就是频率,：,式中振幅,A,和位相,均可以随时间和空间变化。显然，位相,对,x,求导,对大气波动（以一维为例，余类推）：,（,2,）缓变波列的概念,（,13.1,）,（,13.2,）,（,13.3,）,16,若波列的,振幅,随时间和空间的变化,比位相,随时间和空间的变化慢得多的话，即：,称：,k,为常数的波动为,均匀波动,，而,k,，,波动，或者,可变波动,。,不是常数的波动为非均匀,则称此波列为,缓变波列,。,结论：振幅是缓变过程，而位相是快变过程。多尺度方法可将二者统一起来。,17,（,13.9,）,另外，还可定义缓变波列的局地频散关系为：,（,13.10,）,而由（,13.3,），为,k,同理,18,（,13.11,）,（,13.12,）,（,13.13,）,（,13.15,）,（,13.16,）,同理,(13.9),19,13.1.2,波包的传播，群速,当波动振幅随时间和空间变化时，波动就称为,波包,：,（,13.1,）,即可引进一组缓变量：,如上述，可设振幅,是,x,y,t,的,缓变函数,，而位相,是,快变函数,。,于是缓变波包（,13.1,）就表示为如下形式,能刻划出缓变波包的特征：,（,13.24,）,显然有以下微分关系：,（,13.25,）,20,如前所述：,（,13.25,）,以及：,（,13.26,）,（,13.2,）、（,13.3,）,等,同理,21,这样，对一个扰动（线性化后的），我们就可设其有波包解,（,13.24,）,，将其带到该扰动方程，利用,（,13.25,）,（,13.26,）,就可得到振幅,A,满足的微分方程。将,A,按小参数,展开（即用,WKB,方法），就得各级近似，进而可以找到波动的一些重要性质。,这一方法称为,多尺度展开方法,，通常又称为,WKBJ,方法。,下节将对正压,Rossby,波这个具体例子加以讨论，从而能够较为详细地了解,WKBJ,分析法。,22,13.2.1,缓变,Rossby,波包的传播，群速度,在讨论,WKB,法时导出了准地转正压位涡守恒方程：,(11.27),其中，正压准地转位涡为：,地转风也可以由流函数表示：,(1).,线性化,：,设,，其中,，代入,（,11.27,），,有：,，即：,，故线性化后,正压准地转扰动位涡方程,为：,（,13.27,）,13.2.,Rossby,波的能量和能量通量,23,（,2,）,.,设（,13.27,）有缓变波包解：,（,13.28,）,则因：,按积的导数，有：,故,（,13.28,）,代入,（,13.27,），,有：,合并整理后，得：,24,（,13.29,）,这是一个,关于振幅,A,的方程,。,（,3,）将要求的解,A,按小参数,作幂级数展开,（,WKB,法）：,（,13.30,）,（,4,）将（,13.30,）代入到（,13.29,）,，合并,的各级幂项，则可得,零级近似,为：,（,13.31,）,则,x,方向的相速度为：,可见,，（,9.169,）,取基本流场静止（,）时正是此结果，,即,Rossby,波。,25,而一级近似（,项归并）为：,但按（,13.31,）知道,0,，则：,（,13.32,）,（,13.33,）,其中，群速度的两个分量为：,利用,（,13.22,），,也可以将,（,13.33,）,的自变量改回到,x,y,t,，则有：,26,（,13.34,）,其中，,L,观点，跟随质点运动，其,不变。,E,观点，以,运动时观测,，则,不变。,那么在,（,13.30,）,中，若用第一项来代替解，即取,，则可以说,A,在以,的速度传播。这怎么来描述呢？数学物理方法中（梁,190,页）,中知道：凡形如,的函数描写的就是沿,x,正方向传播的行波，传,播速度就是,a,。推广到三维，就是,，现在对,A,，就是：,（,13.35,）,这可以表明，缓变波包的振幅即波包迹以,移动，可见群速度正表示,波包络移动的速度。,27,13.2.2,波动能量和能量通量,已知，,点乘运动方程必将得到动能方程。易见，,应为本节出发方程：,乘以,（,13.27,），,-,（,13.36,）,考虑：乘积求导，及,算子矢量微分二重性，故：,故：,故,（,13.36,）,可以改写为：,28,两端乘以,1,，各项变号，再两两合并，得到：,（,13.37,）,上式中，第一项表示,动能与势能之和,*,，第二项表示,波动能量与群速度的乘积,。故称为：,（,13.38,）,*,单位截面流体柱中单位质量上的平均动能为：,动能与势能之和,能量通量矢量,29,单位质量上的平均位能为：,可见，,E,的确是动能与势能之和。引入,E,，,之后,，（,13.37,）,变为：,（,13.39,）,30,同理：,31,32,33,34,35,36,13.3,Rossby,波的频散，上游效应,13.3.1,Rossby,波群速度特征,向外传播。对频散波，,。当,时，扰动能量将先于扰动源到达下游，从而在下游,引起新的扰动，或使下游已有的扰动加强。这种上游扰动对下游产生,的快于扰源本身传播的影响，称为,上游效应,。,大气中产生某种扰动后，由上节知，能量要以,37,38,39,13.3.2,上游效应,外源影响,下面以正压,Rossby,波为例加以讨论：,而常微分方程可化为代数方程，这样更易求解，得到的,数学复习：数理方法讲过，通过富氏、拉氏变换可将偏微分方程化简直,至常微分方程，,结果再反演（逆变换），即得原解。,Laplace,变换：对,f(t,),其,L,变换及其逆变换分别为：,40,41,正压,Rossby,波问题,下游将出现什么情况？据此，有线性化后,正压无辐散扰动涡度方程,