正弦定理、余弦定理应用举例

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,4.7 正弦定理、余弦定理应用举例,要点梳理,1.解斜三角形的常见类型及解法,在三角形的6个元素中要已知三个（除三角外）,才能求解，常见类型及其解法如表所示.,已知条件,应用定理,一般解法,一边和两角,(如,a,B,C,),正弦定理,由,A,+,B,+,C,=180,求,角,A,；由正弦定理求,出,b,与,c,.,在有解时只有一解,基础知识 自主学习,两边和夹角,(如,a,b,C,),余弦定理,正弦定理,由余弦定理求第三边,c,;,由正弦定理求出小,边所对的角；再由,A,+,B,+,C,=180求出另一角.,在有解时只有一解,三边,(,a,b,c,),余弦定理,由余弦定理求出角,A,、,B,；再利用,A,+,B,+,C,=180,求出角,C,.,在有解时只有一解,两边和其中,一边的对角,（如,a,b,A,),正弦定理,余弦定理,由正弦定理求出角,B,；,由,A,+,B,+,C,=180，求出,角,C,；再利用正弦定理,或余弦定理求,c,.,可有两解，一解或无解,2.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型,测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面,积问题、航海问题、物理问题等.,3.实际问题中的常用角,（1）仰角和俯角,与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标,视线的夹角,目标视线在水平视线,叫仰角,目标视线在水平视线,叫俯角（如图）.,上方,下方,(2)方位角,指从,方向顺时针转到目标方向线的水平角，,如,B,点的方位角为,（如图）.,（3）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数.,正北,基础自测,1.在某次测量中，在,A,处测得同一半平面方向的,B,点的仰角是60,C,点的俯角是70，则,BAC,等于（）,A.10 B.50 C.120 D.130,解析,由已知,BAD,=60,CAD,=70,BAC,=60+70=130.,D,2.两座灯塔,A,和,B,与海岸观察站,C,的距离相等,灯塔,A,在观察站北偏东40,灯塔,B,在观察站南偏,东60，则灯塔,A,在灯塔,B,的（）,A.北偏东10 B.北偏西10,C.南偏东10 D.南偏西10,解析,灯塔,A,、,B,的相对位置如图所示，,由已知得,ACB,=80，,CAB,=,CBA,=50，,则,=60-50=10.,B,3.在,ABC,中，,AB,=3，,BC,=，,AC,=4，则边,AC,上的高为（）,A.B.C.D.,解析,由余弦定理可得：,B,4.,ABC,中,若,A,=60,b,=16,此三角形面积,则,a,的值为（）,A.20 B.25 C.55 D.49,解析,由,S,=,bc,sin,A,=220 ,得,c,=55.,由余弦定理得,a,2,=16,2,+55,2,-21655cos 60=2 401,a,=49.,D,5.,(2009湖南文,14),在锐角,ABC,中,BC,=1,B,=2,A,则 的值等于,AC,的取值范围为,.,解析,2,题型一 与距离有关的问题,要测量对岸,A,、,B,两点之间的距离，选取,相距 km的,C,、,D,两点,并测得,ACB,=75,BCD,=45,ADC,=30,ADB,=45,求,A,、,B,之间的距离.,分析题意，作出草图，综合运用正、,余弦定理求解.,题型分类 深度剖析,解,如图所示在,ACD,中，,ACD,=120，,CAD,=,ADC,=30，,AC,=,CD,=km.,在,BCD,中，,BCD,=45，,BDC,=75，,CBD,=60.,在,ABC,中，由余弦定理，得,B,求距离问题要注意：,（1）选定或确定要创建的三角形，要首先确定所,求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若,有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求,解.,（2）确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可,用，就选择更便于计算的定理.,知能迁移1,（2009海南,宁夏理，,17）,为了测量两山顶,M,、,N,间的,距离，飞机沿水平方向在,A,、,B,两点进行测量，,A,、,B,、,M,、,N,在同一个铅垂平面,内（如示意图）.飞机能够测量的数据有俯角和,A,、,B,间的距离，请设计一个方案，包括：指,出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标,出)；用文字和公式写出计算,M,、,N,间的距离,的步骤.,解,方案一,：需要测量的数据有：,A,点到,M,、,N,点的俯角,1,、,1,；,B,点到,M,、,N,点的俯角,2,、,2,；,A,、,B,的距离,d,(如图所示).,第一步：计算,AM,.由正弦定理,第二步：计算,AN,.由正弦定理,第三步：计算,MN,.由余弦定理,方案二,：需要测量的数据有：,A,点到,M,、,N,点的,俯角,1,、,1,；,B,点到,M,、,N,点的俯角,2,、,2,;,A,、,B,的距离,d,（如图所示）.,第一步：计算,BM,.由正弦定理,第二步：计算,BN,.由正弦定理,第三步：计算,MN,.由余弦定理,题型二 与高度有关的问题,某人在塔的正东沿着南偏西60的方向,前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得,塔顶的最大仰角为30，求塔高.,依题意画图，某人在,C,处,AB,为塔高,他沿,CD,前进，,CD,=,40米，此时,DBF,=45,从,C,到,D,沿途测塔的仰角，只有,B,到测试点,的距离最短时，仰角才最大，这是因为tan,AEB,=,AB,为定值，,BE,最小时，仰角最大.要求出,塔高,AB,必须先求,BE,，而要求,BE,，需先求,BD,（或,BC,）.,解,如图所示，某人在,C,处，,AB,为塔高，他沿,CD,前进，,CD,=40，此时,DBF,=45，过点,B,作,BE,CD,于,E,，则,AEB,=30，,在,BCD,中,CD,=40,BCD,=30,DBC,=135,BDE,=180-135-30=15.,在,Rt,BED,中，,BE,=,DB,sin 15,在,Rt,ABE,中，,AEB,=30,，,AB,=,BE,tan 30=,故所求的塔高为,解斜三角形应用题的一般步骤是：,（1）准确理解题意，分清已知与所求；,（2）依题意画出示意图；,（3）分析与问题有关的三角形；,（4）运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形,逐步求解问题的答案；,（5）注意方程思想的运用；,（6）要综合运用立体几何知识与平面几何知识.,知能迁移2,如图所示，测量河对岸的,塔高,AB,时，可以选与塔底,B,在同一水,平面内的两个测点,C,与,D,，现测得,BCD,=,，,BDC,=,，,CD,=,s,，并,在点,C,测得塔顶,A,的仰角为,，求塔高,AB,.,解,在,BCD,中，,CBD,=-,-,题型三 正、余弦定理在平面几何中的综合应用,(12分)如图所示,在梯形,ABCD,中，,AD,BC,，,AB,=5，,AC,=9，,BCA,=30,ADB,=45，,求,BD,的长.,由于,AB,=5，,ADB,=45，因此要,求,BD,，可在,ABD,中，由正弦定理求解,关键,是确定,BAD,的正弦值.在,ABC,中,AB,=5,AC,=9，,ACB,=30,因此可用正弦定理求,出sin,ABC,再依据,ABC,与,BAD,互补确定,sin,BAD,即可.,解,在,ABC,中，,AB,=5，,AC,=9，,BCA,=30.,AD,BC,，,BAD,=180-,ABC,于是sin,BAD,=sin,ABC,=.8,分,同理，在,ABD,中，,AB,=5，sin,BAD,=，,ADB,=45，,解得,BD,=.故,BD,的长为 .,要利用正、余弦定理解决问题,需将,多边形分割成若干个三角形.在分割时，要注意,有利于应用正、余弦定理.,6分,12分,知能迁移3,如图所示，已知半圆的直径,AB,=2，,点,C,在,AB,的延长线上，,BC,=1，点,P,为半圆上的,一个动点，以,DC,为边作等边,PCD,，且点,D,与,圆心,O,分别在,PC,的两侧，求四边形,OPDC,面积的,最大值.,解,设,POB,=,，四边形面积为,y,，,则在,POC,中，由余弦定理得,PC,2,=,OP,2,+,OC,2,-2,OP,OC,cos,=5-4cos,.,方法与技巧,1.合理应用仰角、俯角、方位角、方向角等概念,建立三角函数模型.,2.把生活中的问题化为二维空间解决，即在一个,平面上利用三角函数求值.,3.合理运用换元法、代入法解决实际问题.,思想方法 感悟提高,失误与防范,在解实际问题时，应正确理解如下角的含义.,1.方向角从指定方向线到目标方向线的水平角.,2.方位角从正北方向线顺时针到目标方向线,的水平角.,3.坡度坡面与水平面的二面角的度数.,4.仰角与俯角与目标视线在同一铅直平面内,的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水,平视线上方时称为仰角，目标视线在水平视线,下方时称为俯角.,一、选择题,1.在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分,别是30，60,则塔高为 （）,解析,作出示意图如图，,由已知：在Rt,OAC,中，,OA,=200，,OAC,=30，,则,OC,=,OA,tan,OAC,=200tan 30=,在Rt,ABD,中，,AD,=，,BAD,=30，,则,BD,=,AD,tan,BAD,=,A,定时检测,2.一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两,个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时,后，看见一灯塔在船的南偏西60，另一灯塔在船,的南偏西75，则这艘船的速度是每小时（）,A.5海里 B.5 海里,C.10海里 D.10 海里,解析,如图所示，依题意有,BAC,=60，,BAD,=75，,所以,CAD,=,CDA,=15，,从而,CD,=,CA,=10，,在Rt,ABC,中，得,AB,=5，,于是这艘船的速度是 （海里/小时）.,C,3.如图所示，已知两座灯塔,A,和,B,与海洋,观察站,C,的距离都等于,a,km,灯塔,A,在,观察站,C,的北偏东20，灯塔,B,在观察,站,C,的南偏东40，则灯塔,A,与灯塔,B,的距离为 （）,A.,a,km B.,a,km,C.,a,km D.2,a,km,解析,利用余弦定理解,ABC,.易知,ACB,=120,在,ABC,中，由余弦定理得,AB,2,=,AC,2,+,BC,2,-2,AC,BC,cos 120=2,a,2,-2,a,2,B,4.一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔,P,的南偏西75距塔68海里的,M,处,下午2时到达这,座灯塔的东南方向的,N,处，则这只船的航行速度为,（）,A.海里/小时 B.海里/小时,C.海里/小时 D.海里/小时,解析,如图所示，在,PMN,中，,答案,A,5.如图，一货轮航行到,M,处,测得灯塔,S,在货轮的北偏东15,与灯塔,S,相距20,海里,随后货轮按北偏西30的方向,航行30分钟后,又测得灯塔在货轮的东北方向,则,货轮的速度为 （）,A.20 海里/小时,B.20 海里/小时,C.20 海里/小时,D.20 海里/小时,解析,由题意知,SM,=20,SNM,=105,NMS,=45,答案,B,6.线段,AB,外有一点,C,ABC,=60,AB,=200 km,汽车以,80 km/h的速度由,A,向,B,行驶，同时摩托车以50 km/h的,速度由,B,向,C,行驶,则运动开始,h后，两车的距离最,小.,A.B.1 C.D.2,解析,如图所示，设,t,h后,汽,车由,A,行驶到,D,，摩托车由,B,行,驶到,E,，则,AD,=80,t,，,BE,=50,t,.,因为,AB,=200，所以,BD,=200-80,t,，,问题就是求,DE,最小时,t,的值.,由余弦定理：,DE,2,=,BD,2,+,BE,2,-2,BD,BE,cos 60,=(200-80,t,),2,+2 500,t,2,-(200-80,t,)50,t,=12 900,t,2,-42 000,t,+40 000.,答案,C,