定积分基本定理

4.2.1 变上限定积分,4.2定积分基本定理,4.2.2 微积分的基本公式,4.2.1 变上限定积分,如果,x,是区间,a,b,上任意一点，定积分,表示曲线,y,=,f,(,x,)在部分区间,a,x,上曲边梯形,AaxC,的面积，,如图中阴影部分所示的面积.,当,x,在区间,a,b,上变化时,阴影部分的曲边梯形面积也随之变化，,所以变上限定积分,y,x,y,=,f,(,x,),a,x,b,O,A,C,B,是上限变量,x,的函数.,记作,F,(,x,)，,即,F,(,x,),注意到教材中的积分式,积分上限中的积分变量 ，,与被积函数中自变量用的是同一个字母符号，其实两者的含义是不同的,为避免混淆,这里改用 为积分变量.由于定积分的值与积分变量的记号无关,把积分变量改用别的字母表示,不影响积分结果.,通常称积分式,为,变上限的积分,变上限的积分,有下列重要性质:,定理4.,1,若函数,f,(,x,),在区间,a,b,上连续,，,则变上限定积分,在区间,a,b,上可导,，,并且它的导数等于被积函数，,即,定理 4.1 告诉我们，,是函数,f,(,x,)在区间,a,b,上的一个原函数，,这就肯定了连续函数的原函数是存在的，,所以，定理 4.1 也称为原函数存在定理.,变上限定积分,推论,(原函数存在的充分条件)闭区间上的连续函数,在该区间上它的原函数一定存在.,例,1 (1),求,(,x,).,解,根据定理4.,1,，得,(2)求,解,补充例,求,(,x,).,解,(,x,),补充例,求,F,(,x,).,解,根据定理,1,，得,*补充例,解,例2,求,解 当,时,原式为,型不定式,可用洛必达法则求,得,4.2.2 微积分的基本公式,定理,如果函数,f,(,x,),在区间,a,b,上连续,，,F,(,x,),是,f,(,x,),在区间,a,b,上任一原函数,，,那么,为了今后使用该公式方便起见，把 上 式右端的,这样 上面公式就写成如下形式：,“NewtonLeibniz公式”,例,3,计算下列定积分.,解,4.2.3 定积分的性质,下面各性质中的函数都假设是可积的.,性质,1,(,1,),两个函数和的定积分等于它们定积分的和,，,即,性质2,被积函数的常数因子可以提到积分外面,，,即,性质,1,(,1,),可推广到有限多个函数代数和的情况，即,性质,3,(,积分对区间可加性,),如果积分区间,a,b,被点,c,分成两个区间,a,c,和,c,b,，,那么,当点,c,不介于,a,与,b,之间，,即,c,a,b,或,a,b,c,时，,结论仍正确.,补充例题,计算下列定积分.,解,解,把被积函数化简.,补例,计算,解,补充题例,例4,求定积分,解,请在草稿纸上练习书上例题：,例5,设函数,求定积分,解,