理论力学动能定理

单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第十三章 动能定理,动力学,13-1力的功,时，正功；,时，功为零；,时，负功。,一恒力的功,单位：焦耳（J）：1J=1N,1m,力的功是代数量。,二变力的功,元功：,变力,F,在曲线路程 中作功为,在直角坐标系中，知,动力学,变力,F,在曲线路程 中作功为,三合力的功,即在任一路程上，合力的功等于各分力功的代数和。,1重力的功,对于质点系，重力作功为,故,质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置重心的高度差的乘积，而与各质点的运动路径无关。,动力学,取,z,轴铅垂向上，则：,四几种常见力的功,设弹簧原长为,l,0,，在弹性极限内，弹簧的刚度系数为,k,（使弹簧发生单位变形所需的力，单位：N/m），变形后长为,r,，沿矢径的,单位矢量为,故,弹性力的功只与弹簧在始末位置的变形有关，与力作用点的路径无关。,动力学,2弹性力的功,则,作用于转动刚体上力的功等于力矩的功。,若,M,z,=常量，则,动力学,如果刚体上作用的是力偶，则力偶所作的功仍可用上式计算，其中,M,z,为力偶对,z,轴的矩。,设刚体绕,z,轴转动，在其上,M,点作用有力,F,，则,3定轴转动刚体上作用力的功,其中,F,t,为力,F,在作用点,M,处的轨迹切线上的投影。,于是力,F,在刚体从角,1,转到角,2,过程中作的功为,平面运动刚体上力系的功，等于力系向质心简化所得的力（主矢）与力偶（主矩）作功之和。,动力学,4平面运动刚体上力系的功,首先可以证明，刚体上力系的全部力所作的元功之和为,则刚体质心,C,由,C,1,移到,C,2,，同时刚体又由角,1,转到角,2,时，,力系所作的功为,注意：,以上结论也适用于,作一般运动的刚体,，基点也可以是刚体上,任意一点,（不一定取在质心）。,动力学,例,1,质量为,m,=10,kg,的物体，放在倾角为,a,=30,的斜面上，用刚度系数为,k,=100 N/m 的弹簧系住，如图示。斜面与物体间的动摩擦系数为,f,=0.2，试求物体由弹簧原长位置,M,0,沿斜面运动到,M,1,时，作用于物体上的各力在路程,s,=0.5,m,上的功及合力的功。,动力学,解：,我们取物体,M,为研究对象，作用于,M,上的力有重力,mg,，斜面法向反力,F,N,，斜面摩擦力,F,和弹簧力,F,，,各力所作的功为,合力的功为,对任一质点系，若记,v,ir,为第,i,个质点相对质心的速度，则可证明有,13-2质点和质点系的动能,动力学,动能是一个瞬时的、与速度方向无关的正标量，具有与功相同的量纲，单位也是焦耳（J）。,称为,柯尼希定理,物体的动能是由于物体运动而具有的能量，是机械运动强弱的又一种度量。,一质点的动能,二质点系的动能,记刚体平面运动某瞬时的速度瞬心为,P,，质心为,C,，则,3平面运动刚体,动力学,三刚体的动能,1平动刚体,2定轴转动刚体,即,平面运动刚体的动能，等于随质心平动的动能与绕质心轴转动的动能之和。,动力学,例,2,滚子,A,的质量为,m,，沿倾角为,a,的斜面作纯滚动，滚子借绳子跨过滑轮,B,连接质量为,m,1,的物体，如图所示。滚子与滑轮质量相等，半径相同，皆为均质圆盘，此瞬时物体速度为,v,，绳不可伸长，质量不计，求系统的动能。,动力学,解：,取滚子,A,、滑轮,B,、重物作为研究对象，其中重物作平动，滑轮作定轴转动，滚子作平面运动，系统的动能为,根据运动学关系，有,代入上式得,动力学,例,3,均质细长杆长为,l,，质量为,m,，与水平面夹角为,a,=30,，已知端点,B,的瞬时速度为,v,B,，如图所示。求杆,AB,的动能。,则杆的动能为,解：,滑杆作平面运动，其速度瞬心为,P,，角速度,w,为,质心速度为,13-3动能定理,1质点的动能定理,因此,此即质点,动能定理的微分形式,。,将上式沿路径 积分，可得,此即质点,动能定理的积分形式,。,动力学,两边同时点乘，有,由牛顿第二定律有,注意到,此即,质点系动能定理的微分形式,。,对质点系中的任一质点,i,：,将上式沿路径 积分，可得,此即,质点系动能定理的积分形式,。,动力学,对质点系，有,2质点系的动能定理,即,上式表明：,质点系在某段运动过程中动能的增量，等于作用于质点系的,全部力,在这段过程中所作功的和,。,1光滑固定面,2固定铰支座、活动铰支座和向心轴承、固定端,3刚体沿固定面纯滚动（不计滚动摩阻）,5不可伸长的绳索、刚性二力杆（不计质量）,动力学,绳拉紧时，内部拉力的元功之和恒等于零。,3理想约束及内力作功,理想约束：约束力作功为零的约束。,4光滑铰链（中间铰）,下面考察,质点系内力的功,由上可知，,刚体所有内力作功之和等于零。,动力学,注意：一般情况下，应用动能定理时,要计入摩擦力作的功,。,若,A,、,B,两点间距离保持不变，则,总之，应用动能定理时，要仔细分析质点系,所有的,作用力并确定其是否作功。,应用动能定理的,解题步骤,：,（,见第六版教材,P,297298,）,动力学,例4,曲柄连杆机构如图示。已知曲柄,OA,=,r,，连杆,AB,=4,r,，,C,为连杆之质心，在曲柄上作用一不变转矩,M,。曲柄和连杆皆为均质杆，质量分别为,m,1,、,m,2,。曲柄开始时静止且在水平向右位置。不计滑块的质量和各处的摩擦，求曲柄转过一周时的角速度,w,1,。,动力学,解：,取曲柄连杆机构为研究对象，初始时系统静止，,T,1,=0,。,曲柄转过一周，重力的功为零，转矩的功为,2,M,，代入动能定理，有,由于,则,解得,曲柄转过一周后，连杆速度瞬心在,B,点，其速度分布如图,b),所示，系统的动能为,例5,图示系统中，均质圆盘,A,、,B,各重,P,，半径均为,R,，两盘中心线为水平线，盘,A,上作用矩为,M,(,常量,),的一力偶，重物,D,重,Q,。求下落距离,h,时重物的速度,v,与加速度,a,。,(,绳重不计，绳不可伸长，盘,B,作纯滚动，初始时系统静止。,),动力学,解,：取系统为研究对象。,(*)式求导得：,动力学,由动能定理：,解得：,例,6,图示均质杆,OA,的质量为30kg，杆在铅垂位置时弹簧处于自然状态。设弹簧常数,k,=3kN/m，为使杆能由铅直位置,OA,转到水平位置,OA,，在铅直位置时的角速度,w,0,至少应为多大？,解,：取杆,OA,为研究对象，则全部力所作的功为：,由动能定理,动力学,例,7,如图行星齿轮传动机构放在,水平面,内。动齿轮半径,r,，重,P,，可视为均质圆盘；曲柄重,Q,，长为,l,，作用一矩为,M,(,常量,)的,力偶，曲柄由静止开始转动。求曲柄的角速度,w,(,以转角,的函数表示,),和角加速度,e,。,动力学,解,：取整个系统为研究对象。,根据动能定理，得,将,式对,t,求导数，得,例,8,两根匀质直杆组成的机构及尺寸如图，,OA,杆质量是,AB,杆质量的两倍，各处摩擦不计，如机构在图示位置从静止释放，求当,OA,杆转到铅垂位置时，,AB,杆,B,端的速度,v,。,动力学,解,：取整个系统为研究对象，则全部力所作的功为：,根据动能定理,得,例9,匀质圆盘,A,：,m,、,r,；滑块,B,：,m,；杆,AB,：质量不,计，平行于斜面。斜面倾角,，摩擦系数,f,，圆盘作纯滚动，系统初始静止。求：滑块的加速度。,动力学,解：,选系统为研究对象，当下滑,S,时：,运动学关系：,由动能定理有：,将上式两边对,t,求导，得,13-4功率 功率方程 机械效率,力在单位时间内所作的功称,功率,。它是衡量机器工作能力的一个重要指标。功率是代数量，并有瞬时性。,作用在定轴转动刚体上的力的功率为：,功率的单位：瓦特（W）或 千瓦（kW），1W=1 J/s。,动力学,一功率,注意到 ，则,知质点系动能定理的微分形式为,动力学,首先定义机器的有效功率,表明了机器对输入功率的有效利用程度，是评定机器质量优劣的重要指标之一。一般情况下,。,二功率方程,上式称为,功率方程,，即,质点系动能对时间的一阶导数，等于作用于质点系的所有力的功率的代数和,。,对一部机器，,三机械效率,则机械效率,两边同除以d,t,，得,故,13-5势力场,势能,机械能守恒定律,1力场,：若一质点在某空间任一位置都受到一个大小和方向完全,由所在位置确定,的力作用，则此空间称为,力场,。,动力学,在势力场中质点受到的场力称为,有势力,(或,保守力,)，,如重力、弹力、万有引力等。,2势力场,：如果质点在力场中运动,作用于质点的场力所作的功只决定于质点的初始和终了位置，而,与运动路径无关,，这种力场称为,势力场,。,一势力场,例：,重力场、弹性力场、万有引力场都是势力场。,在势力场中，任选一点,M,0,令其势能为零，称为,零势能点,。则质点从点,M,运动到点,M,0,过程中有势力所作的功称为质点在点,M,的,势能,，用,V,表示。即,显然，势能只取决于质点所在的位置,M,和,零势能点,M,0,的选取，势能具有相对性。,动力学,二势能,下面计算几种常见的势能。,1.重力势能,质点：,质点系：,z,0,零势能点的,z,坐标,z,C,0,质点系零势能位置质心,的,z,坐标,如取 ，则,可以证明，万有引力场为势力场。若取,A,0,为零势能点，其与质量为,m,2,的引力中心,O,相距,r,0,，可推得质点,m,1,的引力势能为,2.弹簧的弹性势能,式中,f,为引力常数。,动力学,3.万有引力场中的势能（引力势能）,记,d,0,为零势能点处弹簧的变形量，则,若取弹簧的自然位置为零势能点，则,注意：,若质点系受到多个有势力作用，则各有势力可有各自的零势能点。,对于重力弹力系统，若均以静力平衡位置为零势能点，则总势能表达式一般较简洁。（见教材,P,306例子）,（见第七版教材,P,305）,设,质点系运动过程中只有有势力作功,，则利用动能定理、有势力的功，有,此即,机械能守恒定律,，这样的系统称为,保守系统,。,对非保守系统，设非保守力的功为,W,12,则由动能定理有,动力学,机械能：质点系在某瞬时的动能,T,与势能,V,的总和。,即,有势力的功等于质点（系）在运动的始末位置的势能差。,M,1,处,势能：,M,2,处,势能：,质点从,M,1,M,2,有势力所作的功,：,三有势力的功,四机械能守恒定律,注意,：,解,：知杆水平方向不受外力，且初始静止，故质心,C,铅垂下降。,由于约束反力不作功，主动力为有势力，因此可用机械能守恒定律求解。,由机械能守恒定律有：,代入上式，化简后得,动力学,初瞬时：,任一瞬时：,例10,长为,l、,质量为,m,的匀质直杆，初瞬时直立于光滑桌面上。当杆无初速度地倾倒后，求质心,C,的速度（用杆的倾角,和质心的位置,y,表达）。,13-6动力学普遍定理的综合应用举例,动力学普遍定理包括质点和质点系的,动量定理、动量矩定理,和,动能定理。,动量定理和动量矩定理是矢量形式，动能定理是标量形式，它们都用于研究机械运动，而动能定理还可以用于研究机械运动与其它运动形式有能量转化的问题。,动力学普遍定理提供了解决动力学问题的一般方法。,动力学普遍定理的综合应用，大体上包括两方面含义：,一是能根据问题的已知条件和待求量，,选择适当的定理求解,，包括各种守恒情况的判断，相应守恒定理的应用，避开那些无关的未知量，直接得需求的结果。二是对比较复杂的问题，能根据需要选用两、三个定理,联合求解,。,求解过程中，要正确进行运动分析，提供正确的,运动学补充方程。,动力学,例11,两匀质杆,AC,和,BC,各重为,F,，长为,l,，在,C,处光滑铰接，置于光滑水平面上；设两杆轴线始终在铅垂面内，初始静止，,C,点高度为,h,，求铰,C,到达地面时的速度。,动力学,下面举例说明动力学普遍定理的综合应用。,注意：,应用动量定理、动量矩定理只需考虑质点系所受外力，而应用动能定理时要具体分析内力、约束力所作的功。,动力学,且初始静止，故水平方向质心位置守恒。,代入动能定理：,解,：由于不求系统内