反常积分的概念

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第一节 反常积分的概念第二节 无穷积分的性质与收敛判别第三节 瑕积分的性质与收敛判别,第十一章 反常积分,第一节 反常积分的概念,一、问题提出,例1（第二宇宙速度）在地球表面垂直发射火箭，要使火箭克服地球引力无限远离地球，试问初速度至少要多大？,例2 圆柱形桶的内壁高为h，内半径为R，桶底有一半径为r的小孔，试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水，共需多少时间？,二、两类反常积分的定义,例1,计算广义积分,解,例2,计算广义积分,解,证,定义中C为,瑕点,，以上积分称为,瑕积分,.,例,计算广义积分,解,证,例,证明广义积分,1,0,1,dx,x,q,当,1,q,时收敛，当,1,q,时发散,.,例,计算广义积分,解,故原广义积分发散.,例,计算广义积分,解,瑕点,无界函数的广义积分（瑕积分）,无穷限的广义积分,（注意：不能忽略内部的瑕点）,三、小结,第二节无穷积分的性质与收敛判别,一、无穷积分的性质,定理11.1（柯西准则）无穷积分,收敛的充要条件是：任给,只要,便有,性质1 若,与,都收敛，,为任意常数，则,也收敛，且,性质2 若,在任何有限区间,上可积，,则,与,同敛态，且有,性质3 若,在任何有限区间,上可积，,且有,收敛，则,亦收敛，并有,定义：当,收敛时，称,为绝,对收敛，称收敛而不绝对收敛为条件收敛。,注：绝对收敛的无穷积分，它本身也一定收敛。,但逆命题一般不成立。,二、比较判别法,不通过被积函数的原函数判定广义积分收敛性的判定方法.,由定理，对于非负函数的无穷限的广义积分有以下比较收敛原理,收敛,上有界，则广义积分,在,若函数,且,上连续，,在区间,定理 设函数,+,+,=,+,a,x,a,dx,x,f,a,dt,t,f,x,F,x,f,a,x,f,),(,),),(,),(,0,),(,),),(,证,也发散,发散，则,且,并,也收敛；如果,收敛，则,并且,上连续，如果,区间,在,、,设函数,(比较法则),定理,+,+,+,+,+,+,+,a,a,a,a,dx,x,f,dx,x,g,x,a,x,f,x,g,dx,x,f,dx,x,g,x,a,x,g,x,f,a,x,g,x,f,),(,),(,),(,),(,),(,0,),(,),(,),(,),(,),(,0,),),(,),(,11.2,由定理知,例如，,例,解,根据比较审敛法，,推论1 若,与,都在任何,上可积，,且,则有：,（1）当,时，,与,同敛态；,（2）当,时，由,收敛可推知,也收敛；,（3）当,时，由,发散可推知,也发散。,推论2 设,定义于,且在任何有限区间,上可积，则有：,（1）当,且,时,收敛；,（2）当,且,时,发散。,推论3 设,定义于,且在任何有限区间,上可积，且,则有：,（1）当,时，,收敛；,（2）当,时，,发散。,例,解,所给广义积分收敛,例,解,故所给广义积分发散,例,解,故所给广义积分发散,三、狄利克雷判别法与阿贝尔判别法,定理11.3（狄利克雷判别法）若,在,上有界，,在,上当,时,单调趋于0，则,收敛。,定理11.4（阿贝尔判别法）若,收敛，,在,上单调有界，则,收敛。,例5 讨论,的收敛性。,解：（1）当,时,绝对收敛。这是因为：,而,当,时收敛，故有比较法则推知,收敛。,（2）当,时,条件收敛。,这是因为对任意,，有,而,当,时单调趋于0，故由狄利克雷判别法,推知,当,时总是收敛的。,另一方面，由于,其中,满足狄利克雷判别法,故,收敛，而,是发散的，因此当,时该无穷积分不是绝对收敛的，所以它,是条件收敛的。,例6 证明下列无穷积分都是条件收敛的：,证明：分别换元,结合例5即证。,第三节瑕积分的性质与收敛判别,一、无穷积分的性质,定理11.5（柯西准则）无穷积分,收敛的充要条件是：任给,只要,便有,性质2 若,的瑕点为,为任一常数。,则,与,同敛态，且有,性质1 设函数,与,都收敛,为常数，则当瑕积分,也收敛，并有：,的瑕点同为,与,时,瑕积分,性质3 若,上可积，则当,收敛时，,亦收敛，并有,定义：当,收敛时，称,为绝,对收敛，称收敛而不绝对收敛为条件收敛。,注：绝对收敛的无穷积分，它本身也一定收敛。,但逆命题一般不成立。,的瑕点为,在,的任一内闭,区间,二、比较判别法,定理11.6（比较法则）设定义在,上的两个,函数,与,，瑕点同为,在任何,上都可积，且满足：,则当,收敛时，,必定收敛。,当,发散时，,必定发散。,推论1 若,且,则有：,（1）当,时，,与,同敛态；,（2）当,时，由,收敛可推知,也收敛；,（3）当,时，由,发散可推知,也发散。,推论2 设,定义于,为瑕点，且在任何,上可积，则有：,（1）当,且,时，,收敛；,（2）当,且,时，,发散。,推论3 设,定义于,上可积，且,则有：,（1）当,时，,收敛；,（2）当,时，,发散。,例1,解,所给瑕积分收敛,为瑕点，且在任何,例 讨论反常积分,的收敛性。,解：把反常积分,写成：,（1）先讨论,，当,即,时它是定,积分；当,时它是瑕积分，瑕点为,由于,根据比较法则推论3知，当,即,且,时，瑕积分,收敛；当,即,且,时，瑕积分,发散。,（2）再讨论,，它是无穷积分。由于,根据比较法则知，当,即,且,时，,收敛；而当,即,且,时，,发散。,综上所述，把讨论结果列如下表：,发散,收敛,定积分,收敛,收敛,发散,发散,收敛,发散,由此可见，反常积分,只有当,时才是,收敛的。,