计算机图形学-第八章讲义

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第八章,三维,对象的表示,本章重点讲述内容：讲解五种三维对象表示方法,多边形表面,曲线曲面,：,Bezier,曲线,结构实体几何法,八叉树,分形几何方法,第八章,三维,对象的表示,三维对象表示方法通常可分为两类：,边界表示,空间分区,三维对象描述方法1,边界表示,使用一组曲面描述,三维,对象,曲面将物体分为内外两部分。,典型例子：多边形平面、,样条曲面,三维对象描述方法1,三维对象描述方法1,三维对象描述方法2,空间分区表示,用来描述物体内部性质,将包含一物体的空间区域划分成一组较小的、非重叠的、邻接的实体,如：八叉树表示,三维对象描述方法2,三维物体的表示方法,边界表示方法,多边形表面,曲线曲面,空间分区表示方法,结构实体几何法,八叉树,其他表示方法,分形几何方法,数字媒体技术研究所,粒子系统,爆炸与闪电特效,数字媒体技术研究所,基于物理的方法,布料动画,8,.1 多边形表面,三维图形中运用边界表示的最普遍方式是使用一组包围物体内部的表面多边形,以一组表面多边形来存储物体的描述,由于所有表面以线性方程加以描述，因此，会简化并加速物体的表面绘制和显示。,8,.1 多边形表面,多边形表数据表分为两组进行组织：,几何表：顶点坐标和用来标识多边形表面空间方向的参数,属性表：指明物体透明度及表面反射度的参数和纹理特征,顶点表,序号,点坐标,V,1,x,1, y,1, z,1,V,2,x,2, y,2, z,2,V,3,x,3, y,3, z,3,V,4,x,4, y,4, z,4,V,5,x,5, y,5, z,5,边表,序号,顶点号,E,1,V,1, V,2,E,2,V,2, V,3,E,3,V,3, V,1,E,4,V,3, V,4,E,5,V,4, V,5,E,6,V,5, V,1,多边形面表,序号,边序号,S,1,E,1, E,2, E,3,S,2,E,3, E,4, E,5, E,6,E,1,E,2,E,4,E,5,S1,v,2,v,1,v,3,v,4,v,5,E,3,E,6,S,2,多边形表面,8,.2 曲线和曲面,曲线曲面的生成方法,给定一组数学函数,给定的一组数据点,一旦给定函数，图形包将指定曲线方程投影到显示平面上，且沿着投影函数路径绘制像素位置,对曲面而言，函数式描述通常嵌入到生成曲面的多边形网格逼近中。常用三角形网格,由函数式描述而生成的显示曲面的例子有二次曲面和超二次曲面,8,.2 曲线和曲面,样条的历史,很早的绘图员利用“,ducks”,和有柔性的木条（样条）来绘制曲线,木质的样条具有二阶连续,并且通过所有的控制点,8,.,3,样条表示,A Duck,Ducks trace out curve,样条：通过一组指定点集而生成平滑曲线的柔性带,样条曲线在计算机图形学中的含义,由多项式曲线段连接而成的曲线,在每段的边界处满足特定的连续性条件,样条曲面,使用两组正交样条曲线进行描述,8,.,3,样条表示,给定一组称为,控制点,的坐标点，可以得到一条样条曲线，这些点给出了曲线的大致形状,根据这些控制点，有两种方法来选取分段连续多项式函数,8,.,3,样条表示,曲线的类型,8,.,3,样条表示,插值,样条曲线：选取的多项式使得曲线通过每个控制点,逼近,样条曲线：选取的多项式不一定使曲线通过每个控制点,凸壳,凸壳的定义,包含一组控制点的凸多边形边界,凸壳的作用,提供了曲线或曲面与包围控制点的区域之间的偏差的测量,以凸壳为界的样条保证了多项式沿控制点的平滑前进,凸壳,逼近样条的控制图,也叫曲线的控制多边形、特征多边形,含义：,对于逼近曲线，连接控制点序列的折线图,作用,标识控制点的顺序,参数,连续性条件,两个相邻曲线段在相交处的参数导数,相等,零阶连续(,C,0,连续)：简单地表示曲线,连接,一阶连续(,C,1,连续)：说明代表两个相邻曲线的方程在相交点处有,相同的一阶导数,（切线）,二阶连续(,C,2,连续)：两个曲线段在交点处,一阶和二阶导数相同,，交点处的切向量变化率相等,8,.,2,.,1,参数连续性条件,曲线分段构造时参数连续性条件,零阶连续 一阶连续 二阶连续,F(u),f(u),F(1)=f(0),F(1)=f(0),F (1)=f (0),几何,连续性条件,两个相邻曲线段在相交处的参数导数,成比例,零阶连续（,G,0,连续）：与,0,阶参数连续性相同，即两个曲线必在公共点处有相同的坐标,一阶连续（,G,1,连续）：表示,一阶导数,在两个相邻曲线的交点处成比例,二阶连续（,G,2,连续）：表示两个曲线段在相交处的一阶和二阶导数均成比例,8,.,2,.,2,几何连续性条件,8,.,2,.,2,几何连续性条件,几何与参数生成的曲线类似，但有差别，几何连续性，曲线将向具有较大切向量的部分弯曲,插值样条曲线,三次样条插值,自然三次样条插值,Hermite,样条插值,Cardinal,样条插值,Kochanek_Bartels,样条插值,逼近,样条曲线,Bezier曲线,B,_,样条曲线,8.3,样条曲线,外形设计,数学基础简单，容易实现,8,.,3,Bezier曲线和曲面,法国,Bezier,使用逼近样条设计汽车,8,.,3,Bezier曲线和曲面,Bezier,曲线构造,假定给出n+1控制点,：,p,k,=,(x,k,y,k,z,k,), k取值范围为0到n，这些坐标值用于合成位置向量 P(u),0,u,1,8,.,3,Bezier曲线和曲面,混合函数,BEZ,k,n,(u),Bezier多项式次数控制点个数,-,1,Bezier曲线,的次数,Bezier曲线举例,P,0,P,1,P,2,Bezier曲线举例,P,0,P,1,P,2,P,3,P,0,P,1,P,2,P,3,Bezier,曲线总是,通过,第一个和最后一个控制点,Bezier,曲线在第一个控制点,P,0,处与直线,P,0,P,1,相切,，在最后一个控制点,P,n,处与直线,P,n-1,P,n,相切。,Bezier,曲线的特性,Bezier,曲线的特性,Bezier,曲线总是落在控制点的凸壳内,保证了曲线沿控制点的平稳前进,第一和最后一个控制点重合生成封闭,Bezier,曲线,多个控制点位于同一位置会对该位置加以更多的权,分段,Bezier,曲线,零阶参数连续,Bezier,曲线的构造,一阶参数连续,Bezier,曲线的构造,使用Bezier曲线的设计技术,Bezier曲线,p,1,p,4,p,2,p,3,p,0,=,p,5,Bezier曲线,p,0,p,1,=,p,2,p,3,p,4,Bezier曲线,P,0,p,0,p,1,p,2,P,1,P,2,P,3,8.,4,Bezier曲面,使用两组正交的,Bezier,曲线来设计,(,m+1)*(n+1),个控制点,8.,4,Bezier曲面,实体构造技术,由简单的物体来构成复杂的物体,扫描表示,结构实体几何法,8.5,扫描表示,思想：,通过平移、旋转及其他对称变换来构造三维对象,通过指定一个二维形状以及在空间区域内移动该形状的扫描来描述该三维物体,z,o,y,x,A,平移扫描,二维图形,A,沿,Z,轴平移,8.5,扫描表示,8.5,扫描表示,旋转扫描,二维图形,A,绕,Z,轴旋转,z,B,y,x,A,思想:,通过对两个指定三维对象进行并、交或差等集合操作产生一个新的三维对象,也叫结构实体几何法。,8.6,结构实体几何法,8.6,结构实体几何法,物体,A,和,B,差,合,交,差,8.6,结构实体几何法,合,交,差,8.7,八叉树,分层树形结构，称为八叉树。,思想：,利用实体的空间相关性,优点：,减少了三维物体的存储需求,提供了存储有关物体内部信息的方便表示,8.7,八叉树,四叉树,二维空间,三维空间,八叉树,四叉树,四叉树,数据结构,思想,同质象限,1,0,2,3,1,0,2,3,用于,二维形体,的分解,对形体所在的外接正方形,递归地等分,4个小正方形，这个分解过程可表示为一棵树，除叶节点，其每个节点都有四个分支，分别表示4个小正方形,若小正方形是同质的，则不必再分解；,若小正方形是非均质的，则需将它再一分为四,分解是递归的。,四叉树,四叉树,例：,3,1,2,0,3,1,2,0,0,1,2,3,0,1,3,2,四叉树,3,1,2,4,5,6,13,25,19,24,18,20,21,22,23,7,11,12,8,9,10,14,15,16,17,具有子孙的节点,空节点,实节点,2,4,5,13,9,10,7,8,11,12,3,14,15,20,21,16,17,22,23,18,19,24,25,1,6,三维形体的分解,对一个外接,立方体,的形体进行前后、左右、上下等分为8个小立方体，,小立方体单元均质，则停止分解；,小立方体单元非均质，需进一步分解为8个子立方体,直至所有小立方体单元均质，或已分解到规定的分解精度为止。,八叉树,八叉树,2,3,6,7,2,0,1,3,1,3,7,5,具有子孙的节点,空节点,实节点,8,.8 分形几何方法,欧氏几何法&分形几何法,分形基本特征,分形生成过程,8,.8,分形几何方法,传统欧氏几何：,物体形状由方程来描述,具有平滑的表面和规则的形状,分形几何：,从整体上看，分形几何图形是处处不规则的,在不同尺度上，图形的规则性又是相同的,使用过程,而不是使用方程来对物体进行,建模,自然景物：山、树、海岸线等,8,.8,分形几何方法,分形基本特征,每点具有无限细节,对象整体和局部之间的自相似性,利用一个过程来描述分形物体，该过程为产生物体局部细节指定了重复操作,8,.8,分形几何方法,分形生成过程,通过在空间区域内对各点重复使用指定的变换函数，可以生成一个分形图形,如果：初始点,P,0,变换函数,F,P,1,F(P,0,), P,2,F(P,1,), P,3,F(P,2,) ,分形物体包含无限的细节，但仅运用有限次变换函数。,包括在最终图形显示中的细节数量依赖于重复执行的次数和显示系统的分辨率,分形,Koch,曲线,n=4,，每一步各小段分形数,s=1/3,，比例因子,D=ln n / ln(1/s) = ln 4 / ln3 = 1.2619,分形,树形生成元及对应曲线,分形,树形生成元及对应曲线,分形图案欣赏,绚丽多彩的人工分形图案,分形图案欣赏,分形图案欣赏,