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*,极限存在准则,两个重要极限,小结 思考题 作业,第六节 极限存在准则 两个重要极限,第一章 函数与极限,1,1.夹逼准则,证,准则,满足下列条件:,一、极限存在准则,极限存在准则 两个重要极限,如果数列,那末数列,的极限存在,且,n,n,n,z,y,x,及,2,上两式同时成立,上述数列极限存在的准则可以推广到,函数,的极限.,极限存在准则 两个重要极限,3,称为,准则,如果,那末,存在,且等于,A,.,极限存在准则 两个重要极限,夹逼准则.,有,准则,准则,和,4,例,解,由,夹逼定理,得,极限存在准则 两个重要极限,5,注,利用夹逼准则是求极限的一个重要手段,将复杂的函数,f,(,x,)做适当的放大和缩小化简,找出有共同极限值又容易求极限的函数,g,(,x,),和,h,(,x,)即可.,极限存在准则 两个重要极限,6,2.单调有界准则,单调增加,单调减少,单调数列,几何解释:,单调有界,数列必有极限.,单调有界,有极限,有界,极限存在准则 两个重要极限,7,例,证,极限存在.,显然,(1),是单调增加的;,(2),极限存在准则 两个重要极限,是有界的;,存在.,8,(舍去),(3),极限存在.,解得,极限存在准则 两个重要极限,9,极限存在准则 两个重要极限,准则,单调并且有界,设函数,f,(,x,)在点,x,0,的某个,右邻域,内,则,f,(,x,)在点,x,0,右极限,必定存在.,单调有界,数列,必有极限.,函数极限也有类似的准则.,对于自变量的,不同变化过程,准则有不同的形式.,10,(1),作为准则,的应用,极限存在准则 两个重要极限,二、两个重要极限,11,即,夹逼定理,该极限的特点:,极限存在准则 两个重要极限,12,极限存在准则 两个重要极限,一般有,正确,),(,x,j,=,sin,lim,1,13,例,例,例,例,极限存在准则 两个重要极限,14,练习,解,极限存在准则 两个重要极限,15,解,由于,以及,夹逼定理,极限存在准则 两个重要极限,.,lim,0,),2,(,n,n,n,n,n,n,x,c,b,a,x,c,b,a,+,+,=,求,设,16,(2),作为准则,的应用,现证明数列,x,n,单调增加,按,牛顿二项公式,有,且,有界,.,极限存在准则 两个重要极限,17,类似地,显然,极限存在准则 两个重要极限,是,单调增加的;,18,无理数,单调有界数列必有极限,极限存在准则 两个重要极限,是,有界的;,19,当,x,实数趋向 或 时,因此,中的底就是这个常数,或,的极限都存在且等于,函数,可证明,指数函数,以及自然对数,极限存在准则 两个重要极限,20,“以1加非零无穷小为底,指数是无穷小的,倒数,其极限为数,e,”,.,该极限的特点:,(2),括号中1后的变量(包括符号)与幂互为倒数.,注,若极限呈,但第二个特点不具备,通常,凑,指数幂使(2),成立.,这个重要极限应灵活的记为:,则,极限存在准则 两个重要极限,一般有,21,极限存在准则 两个重要极限,正确解法,则,由于当,故,从而原式,22,例,例,例,例,极限存在准则 两个重要极限,23,例,例,解,原式=,极限存在准则 两个重要极限,24,1.选择题,D,练习,C,极限存在准则 两个重要极限,25,A,解,或,极限存在准则 两个重要极限,26,2.两个重要极限,夹逼准则;,单调有界准则.,极限存在准则 两个重要极限,三、小结,1.极限存在准则,),(,x,j,=,sin,lim,1,27,思考题,1.求极限,2.求极限,极限存在准则 两个重要极限,3.2002年考研数学二,8分,28,思考题解答,2.原式=,极限存在准则 两个重要极限,29,解,极限存在准则 两个重要极限,均为正数,故,设,则,由数学归纳法知,对任意正整数,均有,因而数列,有界.,3.2002年考研数学二,8分,30,极限存在准则 两个重要极限,又当,因而有,即数列,单调增加.,由单调有界数列必有极限知,存在.,两边取极限,得,解之得,(舍去).,31,作业,习题1-6(55页),1.(1)(3)(5)(6)2.4.(2)(4)(5),极限存在准则 两个重要极限,32,
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