2024～2025学年度八年级数学上册第2课时 利用完全平方公式分解因式教学设计

第2课时利用完全平方公式分解因式教学目标课题14.3.2第2课时利用完全平方公式分解因式授课人素养目标1.理解完全平方公式进行因式分解的意义，掌握公式的特点.2.能用完全平方公式进行因式分解，发展学生的运算能力和推理能力.3.经历探索利用完全平方公式进行因式分解的推导过程，发展学生的逆向思维，感受数学知识的完整性.教学重点利用完全平方公式分解因式教学难点灵活应用公式法分解因式.教学活动教学步骤师生活动活动一：复习导入，引出新课设计意图通过复习前面所学的利用平方差公式分解因式，引出不能用此法分解的式子，激发学生的好奇心和探索欲，从而引出新课.【复习导入】上节课我们学习了利用平方差公式分解因式，同学们能用所学的知识完成下面的题目吗？分解因式：(1)9x24y2；(2)(x3y)2(x3y)2；(3)x20.01y2；(4)81a416.那我们再来看两个题.(1)m28mn16n2； (2)m28mn16n2.大家试一试！看看用前面所学的方法能将它们分解因式吗？我们发现不能，那怎么才能将它们分解因式呢？这就是我们今天这节课要学习的内容！【教学建议】 对于练习部分，先让学生独立演算，之后与同桌互相订正，教师最后集体订正并强调分解因式需要分解到不能分解为止.活动二：实践探究，获取新知设计意图根据前面学习利用平方差公式分解因式的经验，慢慢构建利用完全平方公式分解因式的新知，增强学生的自信心通过问题培养学生的逆向思维能力让学生经历思考、探究、交流、归纳的过程，从而掌握新知.探究点1利用完全平方公式分解因式计算：(1)(m4n)2；(2)(m4n)2.(大家在下面做，两位同学上台板演)解：(1)(m4n)2m28mn16n2；(2)(m4n)2m28mn16n2.问题1大家说说计算的依据是什么呢？完全平方公式：(ab)2a22abb2.根据上面两道题，请大家试着分解因式：(1)m28mn16n2；(2)m28mn16n2.(大家在下面做，两位同学上台板演)解：(1)m28mn16n2(m4n)2；(2)m28mn16n2(m4n)2.问题2同学们发现了什么规律呢？把等号两边互换位置就可以得到因式分解的结果.问题3我们把这些式子推广到一般式a22abb2与a22abb2，先观察多项式a22abb2与a22abb2有什么特点？(学生先独立思考，再小组讨论，最后教师请代表发言)【教学建议】教师引导学生总结完全平方式的特点：1.必须是三项式(或可以看成三项的).2.有两个同号的平方项.3.有一个乘积项(等于平方项底数的2倍).教学步骤师生活动设计意图为了使学生掌握运用完全平方公式分解因式的基本思路和方法，在引出公式后，结合例题作了示范性分析，说明运用公式分解因式的思考过程.两式的共同特点是：它们都是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍我们把a22abb2与a22abb2这样的式子叫做完全平方式请大家判断下列各式是不是完全平方式(1)a22abb2；（不是）(2)a2b22ab；（是）(3)6xy9x2y2；（是）(4)x2x.（是）问题4你能将多项式a22abb2与a22abb2分解因式吗？把整式乘法的完全平方公式(ab)2a22abb2，(ab)2a22abb2的等号两边互换位置，就得到a22abb2(ab)2，a22abb2(ab)2，即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方这样，我们就得到了将形如a22abb2或a22abb2的式子分解因式的办法了！通过上一节课和本节课的探究，我们把整式乘法的平方差公式：(ab)(ab)a2b2和完全平方公式：(ab)2a22abb2，(ab)2a22abb2的等号两边互换位置，就得到了用于分解因式的公式：a2b2(ab)(ab)，a22abb2(ab)2，a22abb2(ab)2，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法接下来，我们来看两个例题例(教材P118例5)分解因式：(1)16x224x9；(2)x24xy4y2.分析：在(1)中，16x2(4x)2，932，24x24x3，所以16x224x9是一个完全平方式，即解：(1)16x224x9(4x)224x332(4x3)2；(2)x24xy4y2(x24xy4y2)(x22x2y(2y)2(x2y)2.【对应训练】教材P119练习第1，2(1)(4)题【教学建议】这里教学的重点是让学生掌握公式的特点，牢记公式，并且在运用完全平方公式分解因式时，要先进行观察，判断所要分解的多项式是否符合某个公式的特点，特别需注意检验中间的一项是否符合公式教学时要求学生通过充分地练习基本类型的题来记忆和运用公式，不要让学生死记硬背【教学建议】这种图示对照的形式，是为了说明怎样运用完全平方公式来分解因式，关键是让学生能够指明哪一项相当于公式中的a2，哪一项相当于公式中的b2，哪一项相当于公式中的2ab.为了让学生看起来直观，这里采用这种对照的形式学生做作业时不必如此，但让学生练习几道类似的题目对掌握公式有好处设计意图再次强调因式分解需要分解彻底的问题，并以此活动总结因式分解的完整步骤 探究点2先提公因式，再用完全平方公式分解因式问题1对于多项式2a24ab2b2，我们在进行因式分解的时候该怎么做？先提公因式化为2(a22abb2)问题2分解因式结束了吗？我们发现，还可以继续分解，所以2a24ab2b22(a22abb2)2(ab)2.按照这个思路，我们来看看下面这个例题例教材P118例6(1)分解因式：3ax26axy3ay2.【教学建议】教师总结：因式分解的步骤因式分解时可按下面三个步骤进行，一提公因式，二套公式，三检查套公式时，若多项式有两项，可考虑用平方差公式法教学步骤师生活动分析：原式中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解.解：3ax26axy3ay23a(x22xyy2)3a(xy)2.【对应训练】教材P119练习第2(5)(6)题.分解因式；若多项式有三项，可考虑用完全平方公式法分解因式简记为“一提二套三变形，分解彻底才能停”.活动三：拓展提升，巩固新知设计意图通过把一个多项式视为一个整体的处理方式，培养学生的整体思想和转化思想.例教材P118例6(2)分解因式：(ab)212(ab)36.分析：将ab看作一个整体，设abm，则原式化为完全平方式m212m36.解：(ab)212(ab)36(ab)22(ab)662(ab6)2.【对应训练】分解因式：a22a(bc)(bc)2.解：原式a(bc)2(abc)2.【教学建议】教师需提醒学生对于a22abb2(ab)2中的a，b可以是单项式，也可以是多项式当为多项式时，需把这个式子看作一个整体，再来识别是否符合完全平方式的特点.活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】见创优作业“随堂小练”册子相应课时随堂训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：什么是完全平方式？如何利用完全平方公式分解因式？因式分解的步骤是什么？什么是公式法？【知识结构】【作业布置】1.教材P119习题14.3第3，5题.2.创优作业主体本部分相应课时训练板书设计第2课时利用完全平方公式分解因式符号语言：a22abb2(ab)2，a22abb2(ab)2.文字语言：两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方教学反思 本节课在教学过程中，始终关注学生思维品质的培养和锻炼由乘法公式得到因式分解公式的探索中，运用逆向思维发现新知识；在用公式法因式分解时，通过多项式与公式的对应比较，培养公式化思维；在解决复杂问题时所采用的整体思想，都有效促进了学生思维的发展.解题大招一完全平方式概念的分类讨论的解法完全平方式的特点：首末两项是两个数(或式子)的平方且符号相同，中间项是这两个数(或式子)的积的2倍，所以根据中间项的符号可以是“”号，也可以是“”号分类讨论即可例1若关于x的多项式9x2kxy4y2是一个完全平方式，则常数k的值为12.解析：因为9x2(3x)2，4y2(2y)2，所以kxy23x2y12xy，所以k12.解题大招二利用完全平方公式分解因式例2分解因式：(1)3a2x224a2x48a2；(2)(a24)216a2.分析：(1)有公因式，因此要先提取公因式3a2，再把另一个因式x28x16用完全平方公式分解；(2)先用平方差公式，再用完全平方公式分解解：(1)原式3a2(x28x16)3a2(x4)2；(2)原式(a24)2(4a)2(a244a)(a244a)(a2)2(a2)2.解题大招三利用因式分解进行简便运算要将计算的式子“凑”成完全平方式，再利用完全平方公式转化为(ab)2的形式后计算即可例3利用因式分解计算：(1)3423432162; (2)38.92238.948.948.92.解：(1)342343216234223416162(3416)25022 500；(2)38.92238.948.948.92(38.948.9)2(10)2100.解题大招四利用完全平方公式分解因式再整体代入求值先对原式进行变形，将原式转化为含已知式子的形式，然后整体代入计算例4已知ab5，ab6，求a3ba2b2ab3的值分析：将a3ba2b2ab3分解为ab与(ab)2的乘积，再运用整体代入的数学思想来解答解：a3ba2b2ab3ab(a22abb2)ab(ab)2.当ab5，ab6时，原式65275.培优点一利用因式分解判断三角形的形状通过配方将原式转化为非负数的和的形式，然后利用非负性解答，这是解决此类问题一般的思路例1已知a，b，c分别是ABC三边的长，且a22b2c22b(ac)0，请判断ABC的形状，并说明理由分析：首先利用完全平方公式分组进行因式分解，进一步分析探讨三边关系得出结论即可解：ABC是等边三角形，理由如下：由a22b2c22b(ac)0，得a22abb2b22bcc20，即(ab)2(bc)20，所以ab0，bc0，所以abc，所以ABC是等边三角形培优点二十字相乘法分解因式例2【阅读与思考】将多项式x2x6分解因式这个多项式的常数项62(3)，一次项系数12(3)，这个过程可用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；然后分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；再交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，如图所示这种分解二次三项式的方法叫做“十字相乘法”因此，x2x6(x2)(x3)试用上述方法分解因式：x27x18.分析：解：729，1829，则x27x18(x2)(x9)