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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2021/8/11 星期三,*,2.1.1.2类比推理,2021/8/11 星期三,1,一.复习:,从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理;从结构上说,推理一般由前提和结论两个部分组成;前提是推理所依据的命题,是已知的事实(或假设),结论是根据前提推得的命题(即由已知推出的判断).,1.什么叫推理?推理由哪几部分组成?,2.合情推理的主要形式有,和,.,3.归纳推理是从,事实中概括出,结论的一种推理模式.归纳推理的思维过程大致是:,猜测一般性结论,实验、观察,概括、推广,4.归纳推理包括,和,。,归纳,类比,个别,一般,不完全归纳法,完全归纳法,2021/8/11 星期三,2,5.归纳推理的特点:,(1).归纳推理的前提是几个已知的特殊现象,归纳所得的结论是尚属未知的一般现象,该结论超越了前提所包容的范围。,(3).归纳推理是一种具有创造性的推理.通过归纳推理得到的猜想,可以作为进一步研究的起点,帮助人们发现问题和提出问题。,(2).由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实,还需经过逻辑证明和实践检验.因此,它不能作为数学证明的工具。,2021/8/11 星期三,3,例1、由下图可以发现什么结论？,1+3=4=2,2,，,1+3+5=9=3,2,，,1+3+5+7=16=4,2,，,2021/8/11 星期三,4,例2、已知数列a,n,中，a,1,=1，且,a,n+1,=(n=1,2,),试归纳出这个数列的通项公式。,2021/8/11 星期三,5,纠正典型错误,归纳推理的结论不一定正确,费马猜想：,任何形如 +1（,n,N,*,）的数都是质数,反例：,2021/8/11 星期三,6,从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.,他的思路是这样的：,茅草是齿形的,；,茅草能割破手.,我需要一种能割断木头的工具；,它也可以是齿形的.,这个推理过程是归纳推理吗？,2021/8/11 星期三,7,例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。,等式的性质：,(1)a=b,a+c=b+c;,(2)a=b,ac=bc;,(3),a=b,a,2,=b,2,;等等。,猜想不等式的性质：,(1)ab,a+cb+c;,(2)ab,acbc;,(3),ab,a,2,b,2,;等等。,问：这样猜想出的结论是否一定正确？,2021/8/11 星期三,8,类比推理的定义,可能存在生命,2021/8/11 星期三,9,这种由两类对象具有某些类似特征，和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为,类比推理,（简称,类比,）简言之，,类比推理是由特殊到特殊的推理,2021/8/11 星期三,10,类比推理的一般步骤：,找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；,用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；,检验猜想。即,观察、比较,联想、类推,猜想新结论,2021/8/11 星期三,11,例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.,圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.,球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.,圆,弦,直径周长,面积,球,截面圆,大圆,表面积,体积,2021/8/11 星期三,12,圆的性质,球的性质,圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦,与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长,圆的切线垂直于过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点,经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心,球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆,与球心距离相等的两截面圆相等；与球心距离不等的两截面圆不等，距球心较近的截面圆较大,球的切面垂直于过切点的半径；经过球心且垂直于切面的直线必经过切点,经过切点且垂直于切面的直线必经过球心,2021/8/11 星期三,13,类比推理举例,可以从不同角度确定类比对象：,构成几何体的元素数目：四面体 三角形,2021/8/11 星期三,14,直角三角形,C,90,3个边的长度,a,，,b,，,c,2条直角边,a,，,b,和1条斜边,c,类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想,3个面两两垂直的四面体,PDF,PDE,EDF,90,4,个面的面积,S,1,，,S,2,，,S,3,和,S,3个“直角面”,S,1,，,S,2,，,S,3,和1个“斜面”,S,2021/8/11 星期三,15,例4.在平面上,设h,a,h,b,h,c,是三角形ABC三条边上的高.P为三角形内任一点,P到相应三边的距离分别为p,a,p,b,p,c,我们可以得到结论:,试通过类比,写出在空间中的类似结论.,2021/8/11 星期三,16,平面上,空间中,图,形,结论,证,法,A,B,C,P,p,a,p,b,p,c,A,B,C,D,P,2021/8/11 星期三,17,证,法,2021/8/11 星期三,18,
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