(精品)解析函数的孤立奇点

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,函数的孤立奇点及其分类,(,P,193,),一,、,函数孤立奇点的概念及其分类,二、函数各类孤立奇点的充要条件,三、用函数的零点判断极点的类型,四,*,、函数在无穷远点的性态,1,例,1,是函数,的孤立奇点,.,是函数,的孤立奇点,.,注意,:,孤立奇点一定是奇点,但奇点不一定是孤,立奇点,.,一,、,函数孤立奇点的概念及其分类,在,定义,如果函数,在,不解析,但,的某一去心邻域,内处处解析,则,为,的,孤立奇点,.,称,2,例,2,指出函数,在点,的奇点特性,.,解,即在,的不论怎样小的去心邻域内,的奇点存在,函数的奇点为,总有,不是孤立奇点,.,所以,3,讨论函数在孤立奇点的情况,如果点 为函数 的,孤立奇点,，则,在点 某去心邻域 内可设 的,Laurent,级数展开式为,其中,为该去心邻域内围绕点,z,0,的任一条正向简单闭曲线。,（,5-1-1,）,4,定义,1,若,Laurent,级数,(5-1-1),中所含,(,z,-,z,0,),的负幂项的项数分别为,1,）零个，,2,）有限个，,3,）无穷多个，,则分别称,z,0,为,f,(,z,),的,可去奇点,、,极点,和,本性奇点,。且当,z,0,为极点时，若级数中负幂的系数,c,-m,0,并且,c,n,=0(,n,=-,m,-1,-,m,-2,),则称,z,0,为,f,(,z,),的,m,级极点,，一级极点又称为,简单极点,。,5,1,可去奇点,如果,Laurent,级数中,不含,的,负幂项,则称孤立奇点 称为 的,可去奇点,.,定义,其和,函数,在,处解析,.,二、函数各类孤立奇点的充要条件,6,无论,在,是否有定义,可补充定义,则函数,在,解析,.,反过来，若,在,解析，,且,存在，,则 必是 的可去奇点。,(,由于这个原因，因此把这样的奇点,z,0,叫做,f,(,z,),的可去奇点。,),这样得到下面的结论,：,7,由定义判断,:,的,Laurent,级数无负,在,如果,幂项,由,有界性判断：,则,为,的可去奇点,.,则,为,的,可去奇点,的,充要条件,为,为,的可去奇点,.,则,注,：,函数,f,(,z,),的可去奇点,z,0,看作它的解析点，且规定,(,证明见,195,页,),8,例,说明,为,的可去奇点,.,解,所以,为,的可去奇点,.,无负幂项,另解,所以,为,的可去奇点,.,9,由于,z,=0,为函数 的可去奇点，且当,z,0,时，,f,(,z,)1,，,因此可补充定义,f,(0)=1,，,使,f,(,z,),在整个复平面上处处解析。,10,如果补充定义,:,时,那末,在,解析,.,例,中不含负幂项,是,的可去奇点,.,11,Schwarz,引理,12,2,极点,其中关于,的最高幂为,即,的,(,m,级,),极点,.,那末孤立奇点,称为函数,定义,如果,Laurent,级数中,只有有限多个,的,负幂项,13,则,由,极点的定义,14,注意到,:,的,m,级极点,的,充要条件,是,为函数,由此可得,：,的解析点，并且有,为函数,这里,15,的极点的,充要条件,是,为函数,例,有理分式函数,是二级极点,是一级极点,.,由此也得,：,16,的,Laurent,展开式中含有,的负幂项为有限项,.,在点 的某去心邻域内,其中 在 的邻域内解析,且,由定义判别,：,由定义的等价形式判别：,由极限判别：,判断,.,17,例如,是函数,的,二级,极点，这里,18,解,所以,不是,二级极点,而是一级极点,.,是,的几级极点,?,思考,例1,问,是,的二级极点吗,?,注意,:,不能以函数的表面形式作出结论,.,解析且,19,定理,点 为 的 阶极点的,充要条件,为,是 的 阶零点。,推论,2,若点 为函数 的 阶零点,(,k,=1,2),，,则,z,0,为函数 的 阶零点；当 时，,z,0,为函数 的 阶极点。,注意：,若函数 在点 解析，则当,为函数 的 阶零点或 阶极点时，也分,别是函数 的 阶零点或 阶极点。,20,例2,函数,有些什么奇点,如果是极点,指出,它的阶,.,解,函数的奇点是使,的点,这些奇点是,孤立奇点,.,的一阶极点,.,即,上述定理为判断函数的极点提供了一个较为简便的方法,.,21,例,3,求下列函数孤立奇点的类型，并指出极点级数,（,2,）,解：显然 和 是函数 的孤立奇点，分别取,和,则可见,z,=1,和,z,=-1,分别是,f,2,(,z,),的,二,阶极点,和,三阶极点,。,22,（,4,）,解：点 为 的一级零点,;,函数,的零点为 ，且,在这些点处不为零，由,定理,，这些点为函数,的一级零点。由定理,2,的,推论,2,，为函数 的二级零点，又由,推论,1,及其,注意,，它为 的,二级极点,，,而,为 的,简单极点,。,23,练习,求,的奇点,如果是极点,指出它的,级数,.,答案,24,3,本质（性）奇点,则孤立奇点,称为,的,本性奇点,.,若,Laurent,级数中,含有无穷多个,的,负幂项,例如,，,含有无穷多个,z,的负幂项,特点,:,在本性奇点的邻域内,不存在且不,为,同时,不存在,.,25,例,为,f,(,z,),的本性奇点，因为：,26,魏尔斯特拉斯定理,如果,a,为函数,f(z,),的本质奇点，则对于任何常数,A,不管它是有限数还是无穷，都有一个收敛于,a,的点列,z_n,使得,Picard,定理（,203,）,27,综上,，,当,z,0,为,f,(,z,),的孤立奇点时，可用极限,值存在有限、为 、不存在，来区分奇点是,可,去奇点,、,极点,还是,本性奇点,。,28,综上所述,:,孤立奇点,可去奇点,m,级极点,本性奇点,Laurent,级数的特点,存在且为,有限值,无负幂项,含无穷多个负幂项,含有限个负幂项,关于,的最高幂,为,不存在,29,4,、解析函数在无穷远点的性质,定义,如果函数 在区域 内,解析，则称无穷远点 为 的孤立奇点。,在 内，的罗伦展开式为,作变换 ，则在 内的解析函数,的罗朗展开式为：,30,定义,如果 是函数 的可去奇点，,极点或者本性奇点，则 分别称是 的,可去奇点,，,(,m,级,),极点,或者,本性奇点,.,因此,（,1,）如果当 时，,那么称,z,=,为函数 的,可去奇点,；,（,2,）如果只有有限（至少有一个）正整数 ，,使得 ，那么称,z,=,是函数,f,(,z,),的,极点,。,（,3,）如果有无穷多个正整数 ，使得 ，,那么称,z,=,是函数,f,(,z,),的,本性奇点,。,31,当,z=,是函数,f,(,z,),的,极点,时,设对于正整数,m,，,c,m,0,且,当,k,m,时，,c,k,=0,，,此时称,z=,是函数,f,(,z,),的,m,级极点,。,特别地，当,m=,1,时，称,z=,是函数,f,(,z,),的,单极点,。,32,定理,3,设函数 在区域：内解,析,那么 是函数 的可去奇点，极点,或者本性奇点的充分必要条件分别为：,存在着有限极限，无穷极限或者不存在任何极限,（包括无穷）。,推论,设函数 在区域：内解,析,那么 是函数 的可去奇点的充分必要,条件为：存在着某个数 使得 在,内有界。,33,