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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第2课时 函数概念的综合应用,函数相等,1.条件：_相同；_完全一致.,2.结论:两个函数相等.,判断：(正确的打“”，错误的打“”),(1)对应关系相同的两个函数一定是相等函数.(),(2)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了.(),定义域,对应关系,(3)两个函数的定义域和值域相同，则两个函数的对应关系也相同.(),提示：,(1)错误.当两函数的定义域不同时，则不是相等函数，故不正确.,(2)正确.值域f(x)|xA是由定义域A和对应关系f确定的.,(3)错误.两个函数的定义域和值域相同，函数的对应关系不一定相同.,答案：,(1)(2)(3),【知识点拨】,对函数相等的三点说明,(1)函数值域是由定义域和对应关系决定的.因此判断两个函数是否相等，只看定义域和对应关系即可.,(2)当两函数的对应关系和值域分别相等时，两函数不一定相等.,(3)若两个函数只是自变量用的字母不同，则这两个函数相等.例如,函数f(x)=x,2,xR与函数f(t)=t,2,tR是相等函数.,类型 一,函数相等的判断,【典型例题】,1.(2013衢州高一检测)下列各组函数表示相等函数的,是(),A.f(x)=x-2,g(x)=,B.f(x)=,g(x)=1,C.f(x)=x,2,-2x-1,g(t)=t,2,-2t-1,D.f(x)=,g(x)=,2判断下列各组中的函数是否相等，并说明理由.,(1)y=,y=.,(2)y=,y=.,【解题探究】,1.在所给四组函数中，定义域和对应关系分别,有什么关系？,2.两个函数相等的条件是什么？,探究提示：,1.A.定义域不同，对应关系相同；,B.定义域和对应关系都不同；,C.定义域和对应关系都相同；,D.定义域不同，对应关系相同.,2.两个函数相等的条件是定义域与对应关系均相同.,【解析】,1.选C.选项A中f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为x|x-2，故定义域不同，因此不是相等函数；选项B中f(x)的定义域为x|x0，g(x)的定义域为R，故定义域不同，因此不是相等函数；选项D中f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为x|x1，定义域不同，因此不是相等函数；而C只是表示变量的字母不一样，表示的函数是相等的.,2(1)对于函数y=，,由 得x1，所以定义域为x|x1.,对于函数y=，由 0，得x1或x-1，所以定,义域为x|x1或x-1.所以两函数的定义域不同，故不是,相等函数.,(2)对于函数y=，,由 得-1x1，故定义域为x|-1x1.,对于函数y=，由 0，得-1x1，,故定义域为x|-1x1.,所以两函数定义域相同，又对应关系相同，故是相等函数.,【拓展提升】,判断函数相等的三个步骤和两个注意点,(1)判断函数是否相等的三个步骤,(2)两个注意点,在化简解析式时，必须是等价变形；,与用哪个字母表示无关.,【变式训练】,下列各组函数表示相等函数的个数是(),y=与y=x+3(x3),y=与y=x-1,y=2x+1,xZ与y=2x-1,xZ,A.0个 B.1个 C.2个 D.3个,【解析】,选A.对应关系都不同，故都不是相等函数.故选A.,类型 二,求函数值域问题,【典型例题】,1.(2013日照高一检测)函数f(x)=(xR)的值域为 (),A.(0,1)B.(0,1 C.0,1)D.0,1,2.求下列函数的值域.,(1)y=3-4x,x(-1,3,.,(2)y=x,2,-4x+6,x,1,5).,(3)y=.,【解题探究】,1.函数y=1+x,2,(xR)的值域是什么？当x趋向于,+时，y=的函数值是如何变化的？,2.(1)在函数图象中，函数值f(x,0,)的几何意义是什么？如何,利用函数图象求函数的值域？,(2)函数y=的分子和分母都含有自变量x，是否可以将其,变形为只有分母含有自变量x的形式?,探究提示：,1.函数y=1+x,2,(xR)的值域是1,+).当x趋向于+时，,y=的函数值趋近于0.,2.(1)函数值f(x,0,)是函数f(x)图象中横坐标为x,0,的点的纵坐,标.函数图象上点的纵坐标的取值范围就是函数的值域.,(2)可以利用分离常数的办法进行变形，变形方法如下：,.,【解析】,1.选B.因为xR，,所以1+x,2,1,+),所以f(x)=(0,1.,2.(1)作出函数y=3-4x,x(-1,3的图象(如图所示).,由图象可知函数y=3-4x,x(-1,3的值域是-9，7).,(2)y=x,2,-4x+6=(x-2),2,+2.,作出函数y=x,2,-4x+6，x1,5)的图象(如图所示).,由图观察得函数的值域为y|2y11.,(3)方法一：,显然 可取0以外的一切实数，,即所求函数的值域为y|y3.,方法二：把y=看成关于x的方程，,变形得(y3)x(y1)0，该方程在原函数定义域x|x,1内有解的条件是 解得y3，,即所求函数的值域为y|y3.,【互动探究】,题2(2)中函数的定义域改为-1，0，1，2，3，如何求其值域？,【解析】,函数的定义域为-1，0，1，2，3，f(-1)=11，f(0)=6，f(1)=3，f(2)=2，f(3)=3，,所以值域为2，3，6，11.,【拓展提升】,求函数值域的原则及常用方法,(1)原则：先确定相应的定义域;再根据函数的具体形式及运算确定其值域.,(2)常用方法：,观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到.,配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法.,换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函,数，从而求得原函数的值域.对于f(x)=ax+b+(其中,a,b,c,d为常数，且a0)型的函数常用换元法.,分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式,转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域.,【变式训练】,(2013武汉高一检测)已知集合A=1,2,3,B=4,5,6,f:AB是从集合A到集合B的一个函数，那么该函数的值域C的不同情况有(),A.6种 B.7种 C.8种 D.9种,【解题指南】,依据函数的定义来判断函数个数，进而求值域.,【解析】,选B.结合函数定义，可知能构成7个函数，其值域有7种不同情况.,即值域为4,5,6,4,5,4,6,5,6,4,5,6.,类型 三,求形如,f(g(x),的,函数的定义域,【典型例题】,1.(2013呼伦贝尔高一检测)已知函数f(x)的定义域是0,2，则函数g(x)=f(x+)+f(x-)的定义域是(),A.0,2 B.-,C.,D.,2.已知y=f(2x+1)的定义域为1,2.,(1)求f(x)的定义域.,(2)求f(2x-1)的定义域.,【解题探究】,1.题1中由函数f(x)的定义域是0,2，如何,确定f(x+)和f(x-)中x+和x-的取值范围？,2.题2中y=f(2x+1)的定义域为1,2，它的含义是x,1,2还是2x+11,2?f(x)，f(2x+1)和f(2x-1)中的,x，2x+1和2x-1的取值范围有何关系？,探究提示：,1.x+0,2，x-0,2.,2.定义域就是自变量的取值范围.y=f(2x+1)的定义域为,1,2，它的含义是x1,2.f(x)，f(2x+1)和f(2x-1),中的x，2x+1和2x-1的取值范围相同.,【解析】,1.选D.因为函数f(x)的定义域是0,2，,所以函数g(x)=f(x+)+f(x-)中的自变量x需要满,足 解得,所以 x .所以函数g(x)的定义域是 ,.,2.(1)由于y=f(2x+1)的定义域为1,2，,所以1x2，所以32x+15,所以函数f(x)的定义域为3,5.,(2)由(1)可知，32x-15，所以2x3，,所以函数f(2x-1)的定义域为2,3.,【拓展提升】,求形如f(g(x)的函数的定义域的方法,(1)已知f(x)的定义域为D，求f(g(x)的定义域,由g(x)D,求出x的范围,即得到f(g(x)的定义域.,(2)已知f(g(x)的定义域为D，求f(x)的定义域,由xD,求出g(x)的范围，即得到f(x)的定义域.,【变式训练】,若函数yf(x)的定义域是0,2，则函数g(x),的定义域是(),A.0,1 B.0,1),C.0,1)(1,4 D.(0,1),【解析】,选B.因为f(x)的定义域为0,2，所以对于函数,g(x)满足02x2，且x1，故x0,1).,【易错误区】,判断两个函数是否相等时忽视定义域致误,【典例】,下列各组函数中是相等函数的是(),A.yx1与y,B.yx,2,1与st,2,1,C.y2x与y2x(x0),D.y(x+1),2,与yx,2,【解析】,选B.对,A,，前者定义域为R，后者定义域为x|x1，不是相等函数；对B，虽然表示变量的字母不同，但不改变意义，是相等函数；对C，因为定义域不同，不是相等函数；对D，虽然定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数.,【类题试解】,下列哪组中的两个函数是相等函数(),A.f(x)=和g(x)=,B.y=与y=x,C.y=x,0,和y=1,D.f(x)=+1和g(x)=,【解析】,选A.B，C中两个函数的定义域不同，D中两个函数的,定义域和对应关系都不同.,【误区警示】,【防范措施】,1.判断相等函数的两个方面,判断两个函数是相等函数，首先应看定义域是否相同，若不相同，则不是相等函数；若相同，还需判断对应关系是否相同，若相同则是，否则不是.本例中，对选项A的判断，应首先看定义域是否相同，而不能先将第二个函数化简后看对应关系相同就是相等函数.,2.判断相等函数的注意点,判断相等函数时，对较为复杂的函数解析式化简要慎重，要注意其等价性.本例中在将选项A中第二个函数解析式化简时易把定义域扩大，由解析式相同而误认为是相等函数.,1.函数f(x)=3x-4的定义域是1,4，则其值域是(),A.-1,8 B.-1,8 C.(-1,8)D.R,【解析】,选B.1x4，33x12，-13x-48，即该函数值域是-1,8.,2.已知Mx|y=x,2,-1,N=y|y=x,2,-1,MN等于(),A.N B.M C.R D.,【解析】,选A.因为Mx|y=x,2,-1=R，,N=y|y=x,2,-1=y|y-1,所以MN=N.,3.下列函数：(1)y=.(2)y=.(3)y=1(-1x1).与函,数y=1相等的函数的个数是(),A.3 B.2 C.1 D.0,【解析】,选D.(1)要求x0，与函数y=1的定义域不同，两函数不相等；(2)虽然化简后y=1，但要求t-1，即定义域不同，不是相等函数；(3)显然定义域不同，故不是相等函数.,4.已知f(x)由下表表示,则函数f(x)的定义域是,，值域是,.,【解析】,观察表格可知函数f(x)的定义域是1，2，3，,值域是1，2.,答案：,1，2，3 1，2,x,1,2,3,f(x),2,1,1,5.设函数f(x)=2x+3的值域是-1,5，则其定义域为_.,【解析】,由-12x+35,解得-2x1.,即函数定义域为-2,1.,答案：,-2,1,6.求y=x,2,2x+3(5x2)的值域.,【解析】,y=x,2,2x+3=(x+1),2,+4，,又5x2，4x+11,1(x+1),2,16,124(x+1),2,3,函数的值域为12，3.,
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