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单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.4,无穷级数,1.4.1,数项级数,1.4.2,幂级数,讨论敛散性,求收敛范围，将函数展开为幂级数，求和。,1.4.3,傅立叶级数,求函数的傅立叶级数展开，讨论和函数的性质。,1.4.1,数项级数,给定一个数列,将各项依,即,称上式为,无穷级数，,其中第,n,项,叫做级数的,一般项,级数的前,n,项和,称为级数的,部分和,.,次相加,简记为,收敛,则称无穷级数,并称,S,为级数的,和,。,1.,数项级数定义,2.,基本性质,性质,1.,若级数,收敛于,S,则各项,乘以常数,c,所得级数,也收敛,即,其和为,c S.,性质,2.,设有两个收敛级数,则级数,也收敛,其和为,说明,:,(2),若两级数中一个收敛一个发散,则,必发散,.,但若二级数都发散,不一定发散,.,(1),性质,2,表明收敛级数可逐项相加或减,.,(,用反证法可证,),性质,3.,在级数前面加上或去掉,有限项,不会影响级数,的敛散性,.,性质,4.,收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级,的和,.,推论,:,若加括弧后的级数发散,则原级数必发散,.,注意,:,收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛,.,性质,5,：,设收敛级数,则必有,可见,:,若级数的一般项不趋于,0,则级数必发散,.,等比级数,(,又称几何级数,),(,q,称为公比,).,级数收敛,级数发散,.,其和为,3.,几个重要级数的收敛性,调和级数发散,(,常数,p,0),p,-,级数,*例,1.,判断级数的敛散性,:,解,:,该级数是下列两级数之差,故原级数收敛,.,(,比较审敛法,),设,且存在,对一切,有,(1),若,强,级数,则,弱,级数,(2),若,弱,级数,则,强,级数,则有,收敛,也收敛,;,发散,也发散,.,是两个,正项级数,(,常数,k,0),4.,审敛法,正项级数：,(,比较审敛法的极限形式,),则有,两个级数同时收敛或发散,;,(2),当,l,=,0,(3),当,l,=,设两正项级数,满足,(1),当,0,l,时,的敛散性,.,例,3.,判别级数,解,:,根据比较审敛法的极限形式知,比值审敛法,(,Dalembert,判别法,),设,为正项级数,且,则,(1),当,(2),当,时,级数收敛,;,或,时,级数发散,.,.,根值审敛法,(Cauchy,判别法,),设,为正项,级数,且,则,因此级数,收敛,.,解,:,交错级数,则各项符号正负相间的级数,称为,交错级数,.,(,Leibnitz,判别法,),若交错级数满足条件,:,则级数,收敛。,绝对收敛与条件收敛,定义,:,对任意项级数,若,若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,则称原级,收敛,数,绝对收敛；,则称原级,数,条件收敛,.,绝对收敛的级数一定收敛,.,例,5.,证明下列级数绝对收敛,:,证,:,而,收敛,收敛,因此,绝对收敛,.,判断数项级数敛散的方法,1,、利用已知结论：等比级数、,P-,级数及级数性质,2,、利用必要条件：主要判别发散,3,、求部分和数列的极限,4,、正项级数的审敛法,1,）比值审敛法（根值审敛法）,2,）比较审敛法（或极限形式）,5,、交错级数审敛法：莱布尼兹定理,6,、一般级数审敛法：先判断是否绝对收敛，如果绝对收敛则一定收敛；否则判断是否条件收敛,发 散,发 散,收 敛,收敛,发散,1.Abel,定理,若幂级数,则对满足不等式,的一切,x,幂级数都绝对收敛,.,反之,若当,的一切,x,该幂级数也发散,.,时该幂级数发散,则对满足不等式,1.4.2,幂级数,*例,6,.,已知幂级数,在,处收敛，则该级数,在,处是收敛还是发散？若收敛，是条件收敛,还是绝对收敛？,解：,由,Abel,定理，该幂级数在,处绝对收敛，,故在,绝对收敛。,例,7.,已知,处条件收敛,问该级数收敛,半径是多少,?,答,:,根据,Abel,定理可知,级数在,收敛,时发散,.,故收敛半径为,若,的系数满足,1),当,0,时,2),当,0,时,3),当,时,则,的收敛半径为,2.,求收敛半径,对端点,x=,1,的收敛半径及收敛域,.,解,:,对端点,x=,1,级数为交错级数,收敛,;,级数为,发散,.,故收敛域为,例,8.,.,求幂级数,3.,求函数的幂级数展开式,1,、对函数作恒等变形（如果需要的话）,2,、利用已知结论，用变量代换或求导积分得所求函数的幂级数,3,、写出收敛范围,(P34,例,1-37),1.,求傅立叶级数展开式,2.,求某个傅立叶系数,3.,求和函数在某些点的值,1.4.3,傅立叶级数的有关问题,例,9.,设,f,(,x,),是周期为,2,的周期函数,它在,上的表达式为,(3),将,f,(,x,),展成傅,里,叶级数,.,解,:,(3),先求傅,里,叶系数,1.5,微分方程,1.5.1,微分方程的基本概念,1.5.2,解微分方程,1.5.3,微分方程应用,1.5.1,微分方程的基本概念,一阶微分方程,二阶微分方程,1.,判定微分方程的阶,2.,判定函数是否微分方程的解，通解或特解,例,1.,验证函数,是微分方程,的解,.,解,:,是方程的解,.,1.5.2,解微分方程,1.,一阶微分方程,可分离变量，一阶线性,2.,高阶微分方程,二阶线性常系数齐次，二阶线性常系数非齐次只要求写出特解形式。,*例,2.,求微分方程,的通解,.,解,:,分离变量得,两边积分,得,即,(,C,为任意常数,),因此可能增、,减解,.,解,*例,3.,利用一阶线性方程的通解公式得：,例,4.,曲线族,所满足的一阶微分方程是,_.,解,:,对,两边求导，得,即为所求一阶微分方程,特征方程,:,实根,特 征 根,通 解,二阶线性常系数齐次微分方程求解,例,5.,的通解,.,解,:,特征方程,特征根,:,因此原方程的通解为,例,6.,求解初值问题,解,:,特征方程,有重根,因此原方程的通解为,利用初始条件得,于是所求初值问题的解为,*例,7.,的通解,.,解,:,特征方程,特征根,:,因此原方程通解为,例,8.,解：因,是一个特解，所以,是特征,方程的重根，故特征方程为：,所对应微分方程为,(2),若,是特征方程的,单根,特解形式为,(3),若,是特征方程的,重根,特解形式为,(1),若,不是特征方程的根,特解形式为,的特解形式,.,解,:,本题,而特征方程为,不是特征方程的根,.,特解形式为,例,9.,例,10.,的特解形式,.,解,:,本题,而特征方程为,其根为,特解形式为,1.5.3,微分方程应用,1.,利用导数几何意义列方程,2.,利用导数物理意义列方程,3.,利用牛顿第二定律,求所满足的微分方程,.,*例,11.,已知曲线上点,P,(,x,y,),处的法线与,x,轴交点为,Q,解,:,如图所示,令,Y,=0,得,Q,点的横坐标,即,点,P,(,x,y,),处的法线方程为,且线段,PQ,被,y,轴平分,例,12.,成正比,求,解,:,根据牛顿第二定律列方程,初始条件为,对方程分离变量,然后积分,:,得,利用初始条件,得,代入上式后化简,得特解,并设降落伞离开跳伞塔时,(,t,=0),速度为,0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度,降落伞下落速度与时间的函数关系,.,t,足够大时,
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