重积分的概念及计算

单击此处编辑母版标题样式,上页,下页,铃,结束,返回,首页,定义,设,f,(,x,y,z,),是空间有界闭区域,上有定义,将,任意分割成,n,个互不重叠的小区域,在 上任取一点,作积分和,其中表示小区域 的体积,若对区域的任意一种分割法,以及中间点的任意取法，积分和的极限,总存在，则称此极限为在区域上的三重积分，,记作,或,7-3,三重积分的概念与计算,当极限 存在时,称 在区域,上可积,.,三重积分 中的各部分的名称,积分号,积分区域,f(x,y,z),被积函数,f(x,y,z)dv,被积表达式,dv,体积元素,x,y,z,积分变量,有界闭区域,上的连续函数或分块连续函数在,上是可积的,.,若一物体占有空间位置,，又其体密度为 则该,物体的质量为,当,f(x,y,z,)=1,V,表示,的体积，则,1,在直角坐标下的计算,（,）积分区域是一个柱面，而其底与顶可以是 曲面,及在上连续,其中,在上连续,则,穿入点,穿出点,穿入点的竖坐标：,穿出点的竖坐标：,先将,x,y,看作定值，将,f(x,y,z,),看成,z,的函数，在,上积分，其结果是,x,y,的函数，记为,然后计算,F(x,y,),在,D,上的二重积分,于是有,公式把三重积分化为先对,z,、,次对,y,、,最后对,x,的,三次积分,或,累次积分,.,穿入点,穿出点,其中,为三个坐标,补例,计算三重积分,所围成的闭区域,.,解,面及平面,例,1,求三重积分,解,D,（,2,）先二重积分后定积分的方法,一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分,设积分区域为,(x,y,z)|(x,y),D,z,a,z,b,其中,D,z,是竖坐标为,z,的平面截空间闭区域,所得到的一个平面闭区域,则,即所谓的,“,先二后一,”,法,.,说明：,例,2,求三重积分,解,即,D,O,判定是否可以用此方法的具体步骤是：根据积分区域和被积函,数的特点，如果用垂直于某坐标轴（如,z,轴）的平面去截区域得截,面面积是该坐标轴（如,z,轴）的函数，而被积函数也仅是该坐标变,量（如,z,）的函数，或可化为仅是该坐标变量（如,z,）的函数，则有,同理得,:,同理得,:,同理得,:,例,3,求三重积分,解,于是,同理,故,空间点的柱面坐标,2,在柱坐标下的计算公式,设,M(x,y,z),为空间内一点,并设点,M,在,xOy,面上的投影,P,的极坐标为,P(,r,),则这样的三个数,r,、,、,z,就叫做点,M,的柱面坐标,这里规定,、,、,z,的变化范围为,0,r,0,2,z,直角坐标与柱面坐标的关系,x,r,cos,y,r,sin,z,z,圆柱面,半平面,平面,坐标面分别为,如图,所示,在柱面坐标系中体积元素为,三重积分在柱面坐标下的计算公式是,(1),是一个正的柱体，在,oxy,平面上的投影的极坐标,区域 为,D,，其低曲面与顶曲面用柱坐标分别表示为,则,例,4,求三重积分,解,例,5,求三重积分,解,解,所求体积为,例,6,设 是,(,y,z,),坐标平面上的圆盘,绕,z,轴旋转一周得到的区域，试求体积,V.,3,在球坐标下的计算公式,设,P,(,x,y,z,),为空间内一点,P,到原点的距离计作 ，向径 与,Z,轴正向的夹角计作,(),P,在,Oxy,平面上的投影点 的极角计作,(),则数组,(),与点,P,有一一对应关系，称,(),为点,P,的,球坐标,.,直角坐标与球面坐标的关系,坐标面分别为,球面,半平面,锥面,如图所示,在球面坐标系中体积元素为,因此有,其中,例,7,求三重积分,解,例,8,求三重积分,解,4.,在一般变量变换下的计算公式,定理,3,设函数 在有界闭区域 上连续,又设变换,在 上连续,有连续的偏导数,将 一一对应地变到,且变换的雅可比行列式,则,球坐标变换,的雅可比行列式,柱面坐标变换,的雅可比行列式,因此，前面讲的球坐标及柱面坐标计算三重积分的,公式都是公式（,7.10,）的特例,.,广义球坐标变换,例,9,求三重积分,解,得到,:,