一元二次方程根与系数的关系

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一元二次方程的,根与系数的关系,韦达,一元二次方程,ax,2,+bx+c=0(a0),的求根公式：,x=,(b,2,-4ac0),（,1,）,x,2,-7x+12=0,(2)x,2,+3x-4=0,(4)2x,2,+3x-2=0,解下列方程并完成填空：,方程,两根,两根和,X,1,+x,2,两根积,x,1,x,2,x,1,x,2,x,2,-7x+12=0,x,2,+3x-4=0,3x,2,-4x+1=0,2x,2,+3x-2=0,3,4,12,7,1,-3,-4,-4,-1,-,-2,算一算：,（,3,）,3x,2,-4x+1=0,1,方程,两根,两根和,X,1,+x,2,两根积,x,1,x,2,x,1,x,2,x,2,-7x+12=0,x,2,+3x-4=0,3x,2,-4x+1=0,2x,2,+3x-2=0,-,3,4,12,7,1,-3,-4,-4,-1,-2,1,若一元二次方程,ax,2,+bx+c=0(a0),的两根为,x,1,、,x,2,则,.,.,X,1,+x,2,=,+,=,=,-,X,1,x,2,=,=,=,=,证明：,设,ax,2,+bx+c=0(a0),的两根为,x,1,、,x,2,则,一元二次方程的根与系数的关系：,如果方程,ax,2,+bx+c=0(a0),的两个根是,x,1,x,2,那么,x,1,+x,2,=,x,1,x,2,=,-,注：能用公式的前提条件为,=b,2,-4ac0,在使用根与系数的关系时，应注意：,不是一般式的要先化成一般式；,在使用,X,1,+X,2,=,时，注意“,”不要漏写。,如果方程,x,2,+px+q=0,的两根是,X,1,，,X,2,，那么,X,1,+X,2,=,X,1,X,2,=.,P,q,一元二次方程,根与系数的关系,是,法国数学家“,韦达,”发现的,所以我们又,称之为,韦达定理,.,说出下列各方程的,两根之和,与,两根之积,：,(1)x,2,-2x-1=0,(3)2x,2,-6x=0,(4)3x,2,=4,(2)2x,2,-3x+=0,x,1,+x,2,=2,x,1,x,2,=-1,x,1,+x,2,=,x,1,+x,2,=3,x,1,+x,2,=0,x,1,x,2,=,x,1,x,2,=0,x,1,x,2,=-,说一说：,例,1,、已知方程,x,2,-(k+1)x+3k=0,的一个根是,2,求它的另一个根及,k,的值,.,解法一,：,设方程的另一个根为,x,2,.,由根与系数的关系，得,2,x,2,=k+1,2 x,2,=3k,解这方程组，得,x,2,=,3,k=,2,答：方程的另一个根是,3 ,k,的值是,2.,例,1,、已知方程,x,2,-(k+1)x+3k=0,的一个根是,2,求它的另一个根及,k,的值。,解法二,：,设方程的另一个根为,x,2,.,把,x=2,代入方程，得,4-2(k+1)+3k=0,解这方程，得,k=-2,由根与系数的关系，得,2 x,2,3k,即,2 x,2,6,x,2,3,答：方程的另一个根是,3 ,k,的值是,2.,例,2,、方程,2x,2,-3x+1=0,的两根记作,x,1,x,2,，,不解方程，求：,（,1,）,;,（,2);,;(4),.,另外几种常见的求值,:,1,、已知方程,3x,2,19x+m=0,的一个根是,1,，,求它的另一个根及,m,的值。,2,、设,x,1,x,2,是方程,2x,2,4x,3=0,的两个根，求,(x,1,+1)(x,2,+1),的值,.,解：设方程的另一个根为,x,2,则,x,2,+1=,x,2,=,又,x,2,1=,m=3x,2,=16,解：,由根与系数的关系,得,x,1,+x,2,=-2,x,1,x,2,=,(x,1,+1)(x,2,+1)=x,1,x,2,+(x,1,+x,2,)+1=-2+()+1=,试一试：,4,1,14,12,则：,求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入,.,4.,已知方程的两个实数根,是,且,，求,k,的值,.,解：由根与系数的关系得,x,1,+x,2,=-k,，,x,1,x,2,=k+2,又,x,1,2,+,x,2,2,=4,即,(,x,1,+,x,2,),2,-2,x,1,x,2,=4,K,2,-2(k+2,）,=4,K,2,-2k-8=0,=,K,2,-4k-8,当,k=4,时，,=-8,0,k=4(,舍去）,当,k=-2,时，,=4,0,k=-2,解得：,k=4,或,k=,2,探究：,6.,已知关于,x,的方程,x,2,+(2m-1)x+m,2,=0,有两个实数根,x,1,、,x,2.,（,1,）求实数,m,的取值范围；,（,2,）当,x,1,2,-x,2,2,=0,时，求,m,的值,.,6.,（,2013,荆州）已知：关于,x,的方程,kx,2,(3,k,1),x,+2(,k,1)=0,（,1,）求证：无论,k,为何实数，方程总有实数根；,（,2,）若此方程有两个实数根,x,1,，,x,2,且,x,1,x,2,=2,求,k,的值,.,2,、熟练掌握根与系数的关系；,3,、灵活运用根与系数关系解决问题,.,1.,一元二次方程根与系数的关系？,小结：,一元二次方程的根与系数的关系,下列方程的两根的和与两根的积各是多少？,.X,2,3X+1=0 .3X,2,2X=2,.2X,2,+3X=0 .3X,2,=1,基本知识,在使用根与系数的关系时，应,注意,：,不是一般式的要先化成一般式；,在使用,X,1,+X,2,=,时，,注意“,”不要漏写,.,练习,1,已知关于,x,的方程,当,m=,时,此方程的两根互为相反数,.,当,m=,时,此方程的两根互为倒数,.,1,1,分析,:1.,2.,练习,2,设 的两个实数根,为 则,:,的值为,(),A.1 B.,1 C.D.,A,以 为两根的一元二次方程,(,二次项系数为,1),为,:,二、已知两根求作新的方程,题,5,以方程,X,2,+3X-5=0,的两个根的相反数为根的方程是（）,A,、,y,2,3y-5=0 B,、,y,2,3y-5=0,C,、,y,2,3y,5=0 D,、,y,2,3y,5=0,B,分析,:,设原方程两根为 则,:,新方程的两根之和为,新方程的两根之积为,求作新的一元二次方程时,:,1.,先求原方程的两根和与两根积,.,2.,利用新方程的两根与原方程的两根之,间的关系,求新方程的两根和与两根积,.,(,或由已知求新方程的两根和与两根积,),3.,利用新方程的两根和与两根积,求作新的一元二次方程,.,练习,:,1.,以,2,和 为根的一元二次方程,（二次项系数为）为：,题,6,已知两个数的和是,1,，积是,-2,，则两 个数是,。,2,和,-1,解法,(,一,):,设两数分别为,x,y,则,:,解得,:,x=2,y=,1,或,1,y=2,解法,(,二,):,设两数分别为一个一元二次方程,的两根则,:,求得,两数为,2,三已知两个数的和与积，求两数,题,7,如果,1,是方程,的一个根，则另一个根是,_,=_,。,（还有其他解法吗？,),-3,四求方程中的待定系数,小结：,1,、熟练掌握根与系数的关系；,2,、灵活运用根与系数关系解决问题；,3,、探索解题思路，归纳解题思想方法。,8,、已知关于,X,的方程,mx,2,-(2m-1)x+m-2=0(m,0),(1),此方程有实数根吗？,（,2,）如果这个方程的两个实数根分别为,x,1,，,x,2,，且 （,x,1,-3)(,x,2,-3)=,m,，求,m,的值。,拓广探究,题,9,方程,有一个正根，一个负根，求,m,的取值范围。,解,:,由已知,=,即,m0,m-10,0m1,一正根，一负根,0,X,1,X,2,0,两个正根,0,X,1,X,2,0,X,1,+X,2,0,两个负根,0,X,1,X,2,0,X,1,+X,2,0,请阅读下列材料：,问题：已知方程,x,2,x,1,0,，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的,2,倍,解：设所求方程的根为,y,，则,y,2,x,，所以,x,把,x,代入已知方程，得,(),2,1,0,化简，得,y,2,2,y,4,0,故所求方程为,y,2,2,y,4,0,这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”,请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）；,（,1,）已知方程,x,2,x,2,0,，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为,_,；,（,2,）已知关于,x,的一元二次方程,ax,2,bx,c,0,（,a,0,）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数,