复数的四则运算

北京大峪中学高三数学组,*,复数的运算,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,5.3,复数的四则运算,我们引入这样一个数,i,，把,i,叫做虚数单位，并且规定：,i,2,1,；,形如,a,+,bi,(,a,b,R),的数叫做复数,.,全体复数所形成的集合叫做,复数集,，一般用字母,C,表示,.,复习：,实部,复数的代数形式：,通常用字母,z,表示，即,虚部,其中 称为,虚数单位,。,复数,a+bi,如果两个复数的,实部,和,虚部,分别相等，那么我们就说这,两个复数相等,特别地，,a+bi,=0,.,a=b=0,必要不充分条件,问题：,a=0,是,z=a+bi(a,、,b,R),为纯虚数的,注意,:,一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小,.,对于任意的两个复数到底能否比较大小,?,答案,:,当且仅当两个复数都是实数时,才能比较大小,.,1.,复数加减法的运算法则：,运算法则,:,设复数,z,1,=a+bi,z,2,=c+di,那么：,z,1,+z,2,=(a+c)+(b+d)i,;,z,1,-z,2,=(a-c)+(b-d)i,.,即,:,两个复数相加,(,减,),就是实部与实部,虚部与虚部分 别相加,(,减,).,复数的四则运算,(2),复数的加法满足,交换律,、,结合律,即对任何,z,1,z,2,z,3,C,有,z,1,+z,2,=z,2,+z,1,(z,1,+z,2,)+z,3,=z,1,+(z,2,+z,3,).,例,1.,计算,解,:,2.,复数的乘法与除法,(1),复数乘法的法则,复数的乘法与多项式的乘法是类似的,但必须在所得的结果中把,i,2,换成,-1,并且把实部合并,.,即,:,(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi,2,=(ac-bd)+(bc+ad)i.,(2),复数乘法的运算定理,复数的乘法满足,交换律,、,结合律,以及乘法对加法的,分配律,.,即对任何,z,1,z,2,z,3,有,z,1,z,2,=z,2,z,1,;,(z,1,z,2,)z,3,=z,1,(z,2,z,3,);,z,1,(z,2,+z,3,)=z,1,z,2,+z,1,z,3,.,例,2,：计算,(3),复数的除法法则,先把除式写成分式的形式,再把分子与分母都乘以分母的共轭复数,化简后写成代数形式,(,分母实数化,).,即,分母实数化,例,3.,计算,解,:,复数的加减陈除四则运算可以解决了，再来探讨,一下复数范围内,开平方,问题解决方法,例如：,1.,方程,x,2,+1=0,2.,方程,x,2,=i,3.,方程,x,2,-2x+2=0,实系数一元二次方程的根的情况,对于一元二次方程,ax,2,+,bx,+,c,=0(,a,b,c,R,),，当,=,b,2,4,ac,0,时,方程有两个不同的实根，,x,=,；当,=,b,2,4,ac,=0,时,方程有两个相同的实根，,x,1,=,x,2,=,；,实系数一元二次方程的根的情况,当,=,b,2,4,ac,0,时,方程有两个共轭的虚数根，,x,=,.,在有两个虚数根的情况下，韦达定理仍然成立，即,x,1,+,x,2,=,；,x,1,x,2,=.,练习,1.,计算,:(1),i,+2,i,2,+3,i,3,+2004,i,2004,;,解,:,原式,=(,i,-,2,-,3,i,+4)+(5,i,-,6,-,7,i,+8)+(2001,i,-,2002,-,2003,i,+2004)=501(2,-,2,i,)=1002,-,1002,i,.,（,3,）,7.,在复数集,C,内，你能将 分解因式吗？,1.,计算,:(1+2,i,),2,2.,计算,(,i,-,2)(1,-,2,i,)(3+4,i,),-,20+15,i,-,2+2,i,-,3,-,i,8,(,x,+,yi,)(,x,-,yi,),课堂小结,1复数的加减乘除四则运算法则；,2开平方问题的解决,作业：,例,设 ，求证：,（,1,）；（,2,）,证明：（,1,）,（,2,）,