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单击此处编辑母版标题样式,三、矩阵秩的性质,证 因为,例7 设A为n阶矩阵，证明,而,所以,三、小结,(2)初等变换法,1. 矩阵秩的概念,2. 求矩阵秩的方法,(1)利用定义,(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).,(即寻找矩阵中非零子式的最高阶数);,3.矩阵秩的性质,思考题,思考题解答,答,相等.,即,由此可知,三、小结,一、线性方程组有解的判定条件,二、线性方程组的解法,3-4 线性方程组的解,一、线性方程组有解的判定条件,问题：,证,必要性.,(,),n,D,n,A,n,A,R,阶非零子式,中应有一个,则在,设,=,(,),根据克拉默定理,个方程只有零解,所对应的,n,D,n,从而,这与原方程组有非零解相矛盾，,(,),.,n,A,R,即,充分性.,(,),n,r,A,R,=,设,.,个自由未知量,从而知其有,r,n,-,任取一个自由未知量为，其余自由未知量为，,即可得方程组的一个非零解,.,证,必要性,有解,设方程组,b,Ax,=,(,),(,),B,R,A,R,设,则,B,的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程，,这与方程组有解相矛盾,.,(,),(,),.,B,R,A,R,=,因此,并令 个自由未知量全取0，,r,n,-,即可得方程组的一个解,充分性.,(,),(,),B,R,A,R,=,设,(,),(,),(,),n,r,r,B,R,A,R,=,=,设,证毕,其余 个作为自由未知量,把这,行的第一个非零元所对应的未知量作为,非自由未知量,小结,有唯一解,b,Ax,=,(,),(,),n,B,R,A,R,=,=,(,),(,),n,B,R,A,R,=,有无穷多解.,b,Ax,=,齐次线性方程组,：系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解；,非齐次线性方程组：,增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解；,例1,求解齐次线性方程组,解,二、线性方程组的解法,即得与原方程组同解的方程组,由此即得,例,求解非齐次线性方程组,解,对增广矩阵,B,进行初等变换，,故方程组无解,例,求解非齐次方程组的通解,解,对增广矩阵,B,进行初等变换,故方程组有解，且有,所以方程组的通解为,例,解证,对增广矩阵,B,进行初等变换，,方程组的增广矩阵为,由于原方程组等价于方程组,由此得通解：,例,设有线性方程组,解,其通解为,这时又分两种情形：,(,),(,),n,B,R,A,R,=,=,(,),(,),n,B,R,A,R,=,有无穷多解.,b,Ax,=,非齐次线性方程组,齐次线性方程组,三、小结,思考题,思考题解答,解,故原方程组的通解为,初等变换的定义,换法变换,倍法变换,消法变换,初等变换,逆变换,三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是,同一类型的初等变换,反身性,传递性,对称性,矩阵的等价,三种初等变换对应着三种初等矩阵,初等矩阵,由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称,为初等矩阵,（）换法变换：对调两行（列），得初等,矩阵,（）倍法变换：以数（非零）乘某行（,列），得初等矩阵,（）消法变换：以数乘某行（列）加到另,一行（列）上去，得初等矩阵,经过初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩,阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全,为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的,行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）,后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第,一个非零元,例如,行阶梯形矩阵,经过初等行变换，行阶梯形矩阵还可以进一,步化为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一,个非零元为1，且这些非零元所在列的其它元素都,为0,例如,行最简形矩阵,对行阶梯形矩阵再进行初等列变换，可得到,矩阵的标准形，其特点是：左上角是一个单位矩,阵，其余元素都为0,例如,矩阵的标准形,所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一,个等价类，标准形是这个等价类中形状最简单的,矩阵,定义,矩阵的秩,定义,定理,行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数,矩阵秩的性质及定理,定理,定理,线性方程组有解判别定理,齐次线性方程组,：把系数矩阵化成行最简形,矩阵，写出通解,非齐次线性方程组,：把增广矩阵化成行阶梯,形矩阵，根据有解判别定理判断是否有解，若有,解，把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵，写出,通解,10线性方程组的解法,定理,11初等矩阵与初等变换的关系,定理,推论,一、求矩阵的秩,二、求解线性方程组,三、求逆矩阵的初等变换法,四、解矩阵方程的初等变换法,典型例题,求矩阵的秩有下列基本方法,（）计算矩阵的各阶子式，从阶数最高的,子式开始，找到不等于零的子式中阶数最大的一,个子式，则这个子式的阶数就是矩阵的秩,一、求矩阵的秩,（）用初等变换即用矩阵的初等行（或,列）变换，把所给矩阵化为阶梯形矩阵，由于阶,梯形矩阵的秩就是其非零行（或列）的个数，而,初等变换不改变矩阵的秩，所以化得的阶梯形矩,阵中非零行（或列）的个数就是原矩阵的秩,第一种方法当矩阵的行数与列数较高时，计,算量很大，第二种方法则较为简单实用,例,求下列矩阵的秩,解,对 施行初等行变换化为阶梯形矩阵,注意,在求矩阵的秩时，初等行、列变换可,以同时兼用，但一般多用初等行变换把矩阵化成,阶梯形,当方程的个数与未知数的个数不相同时，一,般用初等行变换求方程的解,当方程的个数与未知数的个数相同时，求线,性方程组的解，一般都有两种方法：初等行变换,法和克莱姆法则,二、求解线性方程组,例,求非齐次线性方程组的通解,解,对方程组的增广矩阵 进行初等行变换，使,其成为行最简单形,由此可知，而方程组(1)中未知,量的个数是，故有一个自由未知量.,例,当取何值时，下述齐次线性方程组有非,零解，并且求出它的通解,解法一,系数矩阵的行列式为,从而得到方,程组的通解,解法二,用初等行变换把系数矩阵化为阶梯形,三、求逆矩阵的初等变换法,例,求下述矩阵的逆矩阵,解,注意,用初等行变换求逆矩阵时，必须始终,用行变换，其间不能作任何列变换同样地，用,初等列变换求逆矩阵时，必须始终用列变换，其,间不能作任何行变换,四、解矩阵方程的初等变换法,或者,例,解,第三章测试题,一、填空题(每小题4分，共24分),1若元线性方程组有解，且其系数矩阵的秩为,，则当时，方程组有唯一解；当时，方,程组有无穷多解,2齐次线性方程组,只有零解，则应满足的条件是,4线性方程组,有解的充要条件是,二、计算题,(第1题每小题8分，共16分；第2题每,小题9分，共18分；第3题12分),2求解下列线性方程组,有唯一解、无解或有无穷多解？在有无穷多解时，,求其通解,三、利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵,四、证明题(每小题8分，共16分),(每小题7分，共14分),测试题答案,
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