(精品)概率论与数理统计连续型随机变量二

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,称,X,为具有密度函数,f,(,x,),的,连续型随机变量,，如果对任意的,ab,，都有,对于连续随机变量,X,，有,概率论与数理统计,称函数 为随机变量,X,的,分布函数,，记,X,对连续型随机变量,X,，有,连续型随机变量,Review,离散型随机变量的分布律与分布函数,题型,1.,已知离散型分布律，求分布函数：,概率论与数理统计,例,1,(,P42.,例,2,),设随机变量,X,的分布律为,X,0,1,2,P,1/3,1/6,1/2,跳跃点,求,X,的分布函数。,阶梯函数,例,2,(,P42.,例,3,),设随机变量,X,的分布函数为,求,X,的概率分布。,离散型随机变量的分布律与分布函数,题型,2.,已知离散型分布函数，求分布律：,概率论与数理统计,可能取值的点,解,概率论与数理统计,离散型随机变量的分布律与分布函数,例,3,(,P58.9,),设连续型随机变量,X,的密度函数为,求,X,的分布函数。,连续型随机变量密度函数与分布函数,题型,3,.,已知连续型密度函数，求分布函数：,概率论与数理统计,解,当,x,0,时，,连续型随机变量密度函数与分布函数,概率论与数理统计,当,0,x,1,时，,当,1,x,2,时，,连续型随机变量密度函数与分布函数,概率论与数理统计,当,x,2,时，,所以,X,的分布函数为,连续型随机变量密度函数与分布函数,概率论与数理统计,例,4,设连续型随机变量,X,的分布函数为,求,X,的密度函数。,连续型随机变量密度函数与分布函数,题型,4.,已知连续型分布函数，求密度函数：,概率论与数理统计,类似题目：,P45.,例,1,概率论与数理统计,常用连续型分布,1.,均匀分布,若连续型随机变量,X,的密度函数为,则,X,U,(,a,b,).,可描述,“,四舍五入,”,原则下的误差；每隔一定时间,发车一部的车站上乘客的候车时间等等,.,例,5,已知,X,U,(,a,b,),求,X,的分布函数。,均匀分布,概率论与数理统计,解,当,x,a,时,，,当,a,x,b,时，,当,x,b,时，,概率论与数理统计,1.,均匀分布（,X,U,(,a,b,),),均匀分布,例,6,已知,X,U,(,a,b,),求,均匀分布,概率论与数理统计,解,X,U,(,a,b,),，于是,其分布函数为,P,c,X,c+L,=,F,(c+L)-,F,(c)=L/(b-a),.,若,X,服从,(a,b),上的均匀分布，则,X,取值落在子区间,的概率与子区间的长度成正比。,例,7,(,P15.,例,5,),某人午觉醒来，发觉表停了，他打开收音机想听报时，可认为求等待时间,X,服从均匀分布，求等待短于,10,分钟的概率。,解,以分钟为单位，记上一次报时时刻为,0,，则下一次报时时刻为,60,，则,X,U,(0,60),，于是,其分布函数为,概率论与数理统计,均匀分布,P,X,10=,F,(10)=(10-0)/(60-0)=1/6,.,例,8,(,P45.,例,2,),某汽车从,7,：,00am,起，每,15,分钟来一班车，如果乘客到达此站的时间,X,是,7:00,到,7,：,30,之间的均匀变量，求等待时间短于,5,分钟的概率。,解,以分钟为单位，以,7,：,00,为起点,0,，则,X,U,(0,30),，,其分布函数为,概率论与数理统计,均匀分布,P,10,X,15=,F,(15)-,F,(10)=15/30-10/30=1/6,.,P,25,X,30=,F,(30)-,F,(25)=30/30-25/30=1/6,.,P,10,X,15+,P,25,X,30=1/3,.,概率论与数理统计,常用连续型分布,2.,指数分布,若连续型随机变量,X,的密度函数为,可描述电子元件、动物的寿命；排队的服务时间,.,则,例,9,已知 求,X,的分布函数。,指数分布,概率论与数理统计,解,当,x,0,时,，,当,x,0,时，,概率论与数理统计,2.,指数分布（,),指数分布,例,10,(,P46.,例,3,),某元件的寿命,X,服从参数为,1/1000,的指数分布。求,3,个这样的元件使用,1000,小时，至少已有一个损坏的概率。,概率论与数理统计,指数分布,概率论与数理统计,常用连续型分布,3.,正态分布,(,Normal Distribution,),若连续型随机变量,X,的密度函数为,可描述测量误差,;,信号噪声；考试成绩,;,产品的质量指标,;,生物的生理指标等等,.,后面的,中心极限定理,告诉我们：大量独立同,分布的随机变量的和,近似正态分布,!,则,概率论与数理统计,3.,正态分布（,),正态分布,正态分布的图象是一条钟形曲线，,中间高,、,两边低,、是,轴对称,图形。,正态分布图象与其参数关系,概率论与数理统计,4.,标准正态分布（,),标准正态分布,标准化,：,正态分布的标准化,概率论与数理统计,例,11,(,P48.,例,4,),X,N,(1,4),求,F,(5),P,0,X,1.6,P,|,X,-1|,2,。,概率论与数理统计,正态分布,例,12,(,P48.,例,5,),某地区成年男性身高,求身高超过,175,厘米的概率。,概率论与数理统计,正态分布,例,13,从南郊某地乘车到北区飞机场有两条路可走，第一条路较短，但交通拥挤，所需时间,X,N,(50,100),；第二条路线略长，但意外阻塞较少，所需时间,Y,N,(60,16),，若离登机时间只有,70,分钟，问应走哪一条路赶飞机？,解,走第一条路线能及时赶到的概率为,而走第二条路线能及时赶到的概率为,概率论与数理统计,所以为了尽可能赶上飞机，应走第二条路线,.,正态分布,-3,-2,-,+,+2,+3,x,68.26%,95.44%,99.74%,三倍标准差原则,概率论与数理统计,始于,1945,年的工业用质量控制图就是根据这个原则制定的,.,产品质量特性服从正态分布；当生产中不存在系统误差时，,如果生产处于受控状态，则样本观测值一定落在此,3,范围内；,否则生产过程就不稳定，需要改进,.,例,14,假设机床加工的部件长度,X,N(10,),，部件的长度在,10,+,0.01,内才算作合格品,.,要使合格率达到,99.74%,，应当如何控制加工精度,?,三倍标准差原则,解,由,3,原则，知,0.0033.,概率论与数理统计,