常见的几种平面变换(反射变换与旋转变换)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,2.2几种常见的平面变换,反射变换与旋转变换,高中数学选修4-2矩阵与变换,学习目标:,1.理解可以用矩阵表示平面中常见的几何变换；,2.掌握恒等、伸压、反射、旋转、投影、切变变换的矩阵表示及其几何意义；,3.从几何上理解二阶矩阵对应的几何变换是线性变换,往往将直线变成直线或点。,1.恒等变换矩阵(单位矩阵),温故知新,恒等变换,是指对平面上任何一点(向量)或图形施以,矩阵 对应的变换,都把自己变为自己.,2.伸压变换矩阵,伸压变换,矩阵是指将图形作沿,x,轴方向伸长或压缩, 或沿,y,轴方向伸长或压缩的变换矩阵.,伸压变换,温故知新,求圆C：,在矩阵,作用下变换所得的曲线.,两个几何图形有何特点？,问题情境,O,已知在平面直角坐标的第一象限有一张汽车图片F, 将它做关于,x,轴、,y,轴和坐标原点对称的变换,分别得到图片F1 , F2 , F3 ,这些变换能用矩阵来刻画吗?,问题情境,轴对称的几,问题1：若将一个平面图形,在矩阵,的作用变换下得到关于,何图形，则如何来求出这个矩阵呢？,变换矩阵为,问题,2,：能否再找出其它类似的变换矩阵吗？,对称的图形；,对称的图形；,把一个几何图形变换为与之关于,x,轴对称的图形；,(1),把一个几何图形变换为与之关于原点对称的图形；,(2),把一个几何图形变换为与之关于直线,(3),把一个几何图形变换为与之关于直线,(4),一般地，称形如,这样将一个平面图形F变为关于定直线或定点对称的平面图形的变换矩阵,称之为反射变换矩阵，对应的变换叫做反射变换，其中（3）叫做中心反射，其余叫轴反射.其中定直线叫做反射轴，定点称为反射点.,构建数学,例1 求出曲线,在矩阵,作用下变换所得的图形.,-1,1,O,1,数学应用,例2.求出直线,在矩阵,作用下变换得到的图形.,1,O,1,数学应用,变:,例3.求直线,在矩阵,作用下变换得到的图形.,思考1：若矩阵,改为矩阵,则变换得到的图形是什么？,思考2：我们从中能猜想什么结论？,数学应用,一般地,二阶非零矩阵对应的变换把直线变成,直线,.,这种把直线变为直线的变换叫做线性变换.,或点,变式：,设,若,定义的线性变换把直线,变换成另一直线,求,的值.,学生活动,1.求平行四边形OBCD在矩阵,下变换得到的几何图形，并给出图示，其中,作用,2.求出曲线,在矩阵,作用下变换得到的曲线.,学生活动,学生活动,1.求矩形OBCD在矩阵,几何图形，并给出图示，其中,作用下变换得到的,2.求出曲线,经,作用下变换得到的曲线.,和,4.二阶矩阵,对应的变换将,与,分别变换成,（1）求矩阵,（2）求直线,在此变换下所变成的直线,的解析式.,与,3.求,在,分别作用下变换得到的曲线.,学生活动,2,.,旋转变换,矩阵是指将平面图形围绕原点逆时针旋转,的变换矩阵.其中,称为旋转角,点,O,为旋转中心.,旋转变换,构建数学,旋转变换,M=,旋转变换矩阵,主对角线上的两个数相等，副对角线上的两个数互为相反数,且每行、每列的两个数的平方和为1.另外中心对称与旋转180,0,是同一变换, 要注意旋转变换中旋转方向为逆时针.,旋转变换,只改变几何图形的相对位置，不会改变几何图形的形状，旋转中心在旋转过程中保持不变，图形的旋转由旋转中心和旋转角度决定，显然绕定点旋转180,0,的变换相当于关于定点作中心反射变换,.,数学应用,例4.已知A（0，0）、B（2，0）、C（2，1）、D（0，1）,试求矩形ABCD绕原点逆时针旋转90,0,后所得到的图形，并,求出其顶点坐标，画出示意图。,变式：将条件改为矩形ABCD绕原点顺时针旋转30,0,.,延伸拓展,已知二阶矩阵M对应的变换将（1，-1）与（-2，1）,分别变换为（5，7）与（-3，6）.,（1）求矩阵M；,（2）求直线L:,x,-,y,=4,在此变换下所成的直线L,/,的解析式.,