微积分学 数列极限收敛准则(精品)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,高等院校非数学类本科数学课程,一元微积分学,大 学 数 学,（,一,）,第四讲 数列极限收敛准则、,无穷小量、极限运算,脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民,第二章 数列的极限与常数项级数,本章学习要求：,第二章 数列的极限与常数项级数,第二节,数列极限收敛准则,第三节 数列极限的运算,一、数列极限收敛准则,二、无穷小量与无穷大量,三、极限的运算,四、施笃兹定理及其应用,1.,单调收敛准则,单调减少有下界的数列必有极限,.,单调增加有上界的数列必有极限,.,一、数列极限收敛准则,通常说成：单调有界的数列必有极限,.,证,由中学的牛顿二项式展开公式,例,1,类似地,有,又,等比数列求和,放大不等式,每个括号小于,1 .,综上所述,数列,x,n,是单调增加且有上,界的,由极限存在准则可知,该数列的极限,存在,通常将它纪为,e,即,e,称为欧拉常数,.,欧拉一身经历坎坷。他于,1707,年生于瑞士,巴塞尔，,20,年后却永远离开了祖国。在他,76,年,的生命历程中，还有,25,年住在德国柏林（,1741,1766,年），其余时间则留在俄国彼得堡。,欧拉,31,岁时右眼失明，,59,岁时双目失明。,他的寓所和财产曾被烈火烧尽（,1771,年），与,他共同生活,40,年的结发之妻先他,10,年去世。,欧拉声誉显赫。,12,次获巴黎科学院大奖（,1738,1772,年）,曾任彼得堡科学院、柏林科学院、伦敦皇家学会、巴塞尔物理,数学会、巴黎科学院等科学团体的成员。,欧拉成就卓著。生前就出版了,560,种论著，另有更多未,出版的论著。仅仅双目失明后的,17,年间，还口述了几本书,和约,400,篇论文。欧拉是目前已知成果最多的数学家。,欧拉聪明早慧，,13,岁入巴塞尔大学学文科，两年后获学,士学位。第二年又获硕士学位。后为了满足父亲的愿望，学,了一段时期的神学和语言学。从,18,岁开始就一直从事数学研,究工作。,欧拉具有超人的计算能力。法国天文学家、物理学家阿,拉哥（,D. F. J.,Arago,，,1786,1853,）,说：“欧拉计算一点也不,费劲，正像人呼吸空气、或像老鹰乘风飞翔一样。”,有一次，欧拉的两个学生计算一个复杂的收敛级数的,和，加到第,17,项时两人发现在第,50,位数字相差一个单位。,为了确定究竟谁对，欧拉用心算进行了全部运算，准确地,找出了错误。特别是在他双目失明后，运用心算解决了使,牛顿头疼的月球运动的复杂分析运算。,欧拉创用,a,，,b,，,c,表示三角形的三条边，用,A,，,B,，,C,表示对应的三个角,( 1748 ),；创用, 表示求和符号,( 1755 ),；,提倡用 表示圆周率（,1736,）；,1727,年用,e,表示自然对数,的底；还用,y,表示差分等等。,十八世纪四十年代，欧拉的一些著作就已传到中国，,如他在,1748,年出版的,无穷分析引论,。,2.,数列极限的夹逼定理,设数列,x,n, ,y,n, ,z,n,满足下列关系:,(2),则,(1),y,n,x,n,z,n,n,Z,+,(,或从某一项开始,) ;,想想：如何证明夹逼定理,?,解,由于,例,2,想得通,吧？,解,例,3,夹逼定理,例,4,解,例,5,解,夹逼定理,请自己做,!,有界数列的重要性质,由任何有界数列必能选出收敛的子数列,.,定理,左,端点构成单调增加的数列,右端点构成单调减少的数列,上面所用到的方法归结起来称为“区间套定理”,.,(,区间套定理,),定理,3.,柯西收敛准则,满足此条件的数列,称为“柯西列”,.,柯西准则可写为,:,证,由柯西收敛准则可知,该数列是发散的,.,例,6,证,由柯西收敛准则可知,该数列是收敛的,.,例,7,柯 西,A.L.Cauchy,(1789,1857),业绩永存的,数学大师,柯西,1789,年,8,月,21,日出生于巴黎。父亲是一位精通,古典文学的律师，与当时法国的大数学家拉格朗日和拉,普拉斯交往密切。少年时代柯西的数学才华就颇受这两,位大数学的赞赏，并预言柯西日后必成大器。在拉格朗,日的建议下，其父亲加强了对柯西文学素质的培养，使,得后来柯西在诗歌方面也表现出很高的才华。,1805,1810,年，柯西考入巴黎理工学校，两年后以,第一名的成绩被巴黎桥梁公路学院录取，毕业时获该校,会考大奖。,1810,年成为工程师。,1815,年获科学院数学大,奖，,1816,年,3,月被任命为巴黎科学院院士，同年,9,月，被,任命为巴黎理工学校分析学和力学教授。,由于身体欠佳，接受拉格朗日和拉普拉斯的劝告，放,弃工程师工作，致力于纯数学研究。柯西在数学上的最大,贡献是在微积分中引进了极限概念，并以极限为基础建立,了逻辑清晰的分析体系。这是微积分发展史上的一个重大,事件，也是柯西对人类科学发展所作的巨大贡献。,1821,年,柯西提出了极限定义的,方法，把极限过程用不等式刻划,出来，后经维尔斯特拉斯改进为现在教科书上所说的极限,定义或,定义。当今所有微积分教科书都还（至少在,本质上）沿用柯西关于极限、连续、收敛等概念。柯西对,定积分作了系统的开创性的工作。他把定积分定义为和的,极限，并强调在作定积分运算前，应判断定积分的存在,性。,他首先利用中值定理证明了微积分基本定理。通过柯,西以及后来维尔斯特拉斯的艰苦工作，使数学分析的基本,概念得到严格化处理，从而结束了,200,年来微积分在思想,上的混乱局面，并使微积分发展为现代数学最基础、最庞,大的数学学科。,数学分析严谨化的工作一开始就产生了很大的影响。,在一次学术会议上柯西提出了级数收敛理论，会后，拉普,拉斯急忙回家，关起门来，避不见人，直到将他所发表和,未发表的与级数有关的论文和著作全部检查一遍，确认无,误为止。,柯西一生撰写的数学论著有,800,多种。他是,19,个科学院,或著名学术团体的成员。,1838,年他还被授予男爵封号。他在,学术上的贡献涉及到分析学、复变函数论、弹性力学、微分,方程、群论、行列式、数论、解析几何、数值分析、微分几,何、光学、天体力学等学科或学科分支。,柯西一生最大的错误是“失落”了才华出众的年轻数学家,伽罗华与阿贝尔的开创性的论文手稿，致使群论晚问世近半,个世纪。,1857,年,5,月,23,日柯西病逝于巴黎。他的临终遗言：,“,人总是要死的，但他们的业绩永存。,”,二、无穷小量与无穷大量,1.,无穷小量,对数列极限的描述,实际上,就是对整序变量,极限的描述,.,(1),无穷小量的定义,简言之：,以零为极限的量,为该极限过程中的无穷小量,.,无穷小量描述的是变量的变化趋势,不是指一个很小的数,.,无穷小量描述的是变量的变化趋势,不是指一个很小的数,.,例,8,(2),无穷小量的运算性质,两个无穷小量的商的情况比较复杂,以后会专门,讨论,.,(,推广：常数与无穷小量之积仍为无穷小量,.,),证,其它性质可仿此进行证明,.,几个问题,结 论,2.,无穷大量,首先要注意到是,无穷大量与无穷小量一样,无穷大量不是指的一个很大的数,也是描述的变量,的变化趋势,.,(1),无穷大量的定义,定义无穷大量时,用的是绝对值,去掉绝对值符号,则可以定义正无穷大量和负无穷大量,.,去掉绝对值符号,会怎么样？,无穷大量描述的是变量的变化趋势,不是指一个很大的数,.,例,9,由,无穷大量与无界量的定义是否可得出,:,无穷大量一定是无界量,反之,无界量一定是无穷大量,?,无穷大量一定是无界量,.,无界量不一定是无穷大量,.,几个问题,考察例题,结 论,(2),无穷小量与无穷大量的关系,无穷小量与无穷大量互为倒数关系？,分母不能为零,利用无穷小量与无穷大量的关系,可以将一些无穷大量的运算归结为相,应的无穷小量运算,并可得到有关无,穷大量的运算性质,.,几个问题,结 论,考察例题,利用这里提供的数列可以得出上面的结论,.,(3),无穷大量的运算性质,请同学自己证明,.,(1),无穷小量与极限的关系,上述过程显然可以反推过去,于是就可得出,下面的重要定理：,三、极限的运算,定理怎么写？,定理,或写为,(2),数列,(,整序变量,),极限的运算,证,由无穷小量的运算性质,可得到,其余的证明由学生自己完成,解,由于两个无穷大量的差不一定是无穷大,所以,进行变形处理：,例,10,部分分式法,例,11,解,几何平均值极限公式,例,12,解,例,13,解,类似该例的做法,还可以得到下列结果,:,例,14,解,除,最大的一个外,其余的均取为零,.,例,15,解,例,16,证,例,17,证,四、施笃兹,(,O.Stolz,),定理及其应用,运用施笃兹定理计算数列的极限,往往会使问题变得十分简单,.,施笃兹定理,:,解,由施笃兹定理,令,则,例,18,算术平均值,由此,利用对数函数可得出例,12,的几何平均的极限,.,例,19,证,展开后得,算数平均值,算数平均值,剩下的问题请同学自己解决。,