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Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,11/7/2009,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2,函数的幂级数展开,由泰勒公式知道,可以将满足一定条件的函数表示为一个多项式与一个余项的和,.,如果能将一个满足适当条件的函数在某个区间上表示成一个幂级数,就为函数的研究提供了一种新的方法,.,返回,二、初等函数的幂级数展开式,一、泰勒级数,2 函数的幂级数展开 由泰勒公式知道,可以将满足一定,一、泰勒级数,由第六章,3,中,的泰勒定理知,若函数,f,在点,x,0,的某邻域内存在直至,n,+1,阶的连续导数,则,其中,为,Lagrange,型余项,一、泰勒级数由第六章3中的泰勒定理知,若函数f在点x0,由于余项,是关于,的高阶无穷小,因此,在点,附近,f,可用,(1),式右边的多项式来近似代替,设函数,f,在,处存在任意阶导数,则,由函数,f,可得到一个幂级数,其中 在,x,与,x,0,之间,称,(1),式为,f,在点,的泰勒公式,.,由于余项是关于 的高阶无穷小,因此 在点 附近 f 可用,通常称,(3),式为,f,在,处的,泰勒级数,.,对于级,数,(3),是否能在点,附近确切地表达,f,或者说级数,(3),在点,附近的和函数是否就是,f,本身,这就是本节,所要着重讨论的问题,.,例,1,由于函数,在,处的任意阶导数都等于,0,(,见第六章,4,第,二段末尾,),即,通常称(3)式为 f 在 处的泰勒级数.对于级数(,因此,f,在,的泰勒级数为,显然它在,上收敛,且其和函数,.,由,此看到,对一切,都有,.,上例说明,具有任意阶导数的函数,其泰勒级数并不,都能收敛于该函数本身,哪怕在很小的一个邻域内,.,那么怎样的函数,其泰勒级数才能收敛于它本身呢,?,因此 f 在 的泰勒级数为 显然它在 上收敛,且其和函数,定理,14.11,设,f,在点,具有任意阶导数,那么,f,在,区间,上等于它的泰勒级数的和函数的,充分条件是,:,对一切满足不等式,的,有,这里,是,f,在点,泰勒公式的余项,.,本定理的证明可以直接从第六章,3,泰勒定理推出,.,如果,f,能在点,的某邻域上等于其泰勒级数的和函,数,则称函数,f,在点,的这一邻域内可以展开成泰,勒级数,并称等式,定理14.11 设 f 在点 具有任意阶导数,那么 f,的右边为,f,在,处的泰勒展开式,或幂级数展,开式,.,由级数的逐项求导性质可得,:,若,f,为幂级数,在收敛区间,上的和,函,数,则,就是,f,在,上的泰勒展开式,的右边为 f 在 处的泰勒展开式,或幂级数展 开式.由,即幂级数展开式是惟一的,.,在实际应用上,主要讨论函数在,处的展开式,这时,(3),式就变成,称为麦克劳林级数,.,从定理,14.11,知道,余项对确定函数能否展开为幂级,数是极为重要的,下面我们重新写出当,时的,即幂级数展开式是惟一的.在实际应用上,主要讨论函数在 处的,积分型余项、拉格朗日型余项和柯西型余项,以便,于后面的讨论,.,它们分别是,积分型余项、拉格朗日型余项和柯西型余项,以便于后面的讨论,二、初等函数的幂级数展开式,例,2,求,k,次多项式函数,的幂级数展开式,.,解,由于,二、初等函数的幂级数展开式例2 求k次多项式函数的幂级数展开,即多项式函数的幂级数展开式就是它本身,.,例,3,求函数,f,(,x,),=,e,x,的幂级数展开式,.,解,显见,即多项式函数的幂级数展开式就是它本身.例3 求函数 f(x,对任何实数,x,都有,对任何实数 x,都有,例,4,所以,在,上可以展开为麦克劳,林级数,:,例4 所以在上可以展开为麦克劳 林级数:,数学分析14-214,同样可证,(,或用逐项求导,),在,上有,例,5,所以,的麦克劳林级数是,同样可证(或用逐项求导),在上有例5 所以的麦克劳林级数,用比式判别法容易求得级数,(5),的收敛半径,且,当,时收敛,时发散,故级数,(5),的收敛域,是,.,下面讨论在,上它的余项的,极限,.,当,时,对拉格朗日型余项,有,用比式判别法容易求得级数(5)的收敛半径,且 当时收敛,当,时,因,拉格朗日型余项不易估计,故,改,用柯西型余项,.,此时有,当时,因拉格朗日型余项不易估计,故改用柯西型余项.此,这就证得在,上,的幂级数展开式就是,(5).,将,(5),式中,x,换成,就得到函数,处的泰勒展开式,:,其收敛域为,例,6,讨论二项式函数,的展开式,.,解,当,为正整数时,由二项式定理直接展开,就得,到,f,的展开式,这已在前面例,2,中讨论过,.,这就证得在上 的幂级数展开式就是 (5).将(5)式中,下面讨论,不等于正整数时的情形,这时,于是,的麦克劳林级数是,运用比式法,可得,(6),的收敛半径,.,在,内,考察它的柯西型余项,下面讨论不等于正整数时的情形,这时于是 的麦克劳林级数是,由比式判别法,由比式判别法,于,1,所以在,于 1所以在,论,如下,:,对于收敛区间端点的情形,与 的取值有关,其结,论如下:对于收敛区间端点的情形,与 的取值有,一般来说,只有比较简单的函数,其幂级数展开式能,直接从定义出发,并根据定理,14.11,求得,.,更多的情,况是从已知的展开式出发,通过变量代换、四则运,一般来说,只有比较简单的函数,其幂级数展开式能直接从定义,算或逐项求导、逐项求积等方法,间接地求得函数,的幂级数展开式,.,注,求一个函数的幂级数展开式就是确定该幂级数,各项的系数,根据展开式的惟一性,不管用什么方,法得到的系数都是一样的,.,这就是间接展开的根据,.,例,7,以,与,分别代入,(8),与,(9),式,可得,算或逐项求导、逐项求积等方法,间接地求得函数的幂级数展开,对于,(10),、,(11),分别逐项求积可得函数,与,的展开式,:,-1,1,-2,-1,1,2,对于(10)、(11)分别逐项求积可得函数与 的展开式:-1,由此可见,熟练掌握某些初等函数的展开式,对求,其他一些函数的幂级数展开式是非常方便和有用的,特别是例,3,例,7,的结果,对于今后用间接方法求幂,级数展开十分方便,.,由此可见,熟练掌握某些初等函数的展开式,对求 其他,解,利用,得,处连续,在,处无定义,例,8,求函数,在,处的幂级数展开,式,.,解 利用,得处连续,在处无定义,例8 求函数 在处的,而级数,的收敛域为,所以,注,严格地说,上式中的,幂级数在,上有和函数,而,只是它在,上的和函数,.,又因为,所以,而级数 的收敛域为,所以注 严格地说,上式中的,用类似方法可得,.(13),大家一定非常熟悉三角函数表和对数表,但这些表,是怎样制作出来的呢,?,例,9,计算,的近似值,精确到,解,可以在展开式,中令,得,.,这是一个交错级数,故有,用类似方法可得.(13)大家一定非常熟悉三角函,.,为了误差小于,0.0001,就必须计算,级数前,10000,项的和,收敛得太慢,.,为此在,(13),式中,令,代入,(13),式,有,估计余项,:,.为了误差小于0.0001,就必须计算 级数前100,取,就有,因此,取,就有 因此,最后举例说明怎样用幂级数形式表示某些非初等函,数,这是幂级数特有的功能,.,例,10,用间接方法求非初等函数,的幂级数展开式,.,解,以,代替,e,x,的展开式中的,x,得,最后举例说明怎样用幂级数形式表示某些非初等函 数,这是幂,再逐项求积,就得到,在,上的展开式,:,F,(,x,),用上述级数的部分和逐项逼近的过程,示于,下图,:,再逐项求积,就得到 在上的展开式:F(x)用上述级数的,-2,-1,1,2,O,-1,-0.5,0.5,1,-2-112O-1-0.50.51,复习思考题,1.,设幂级数,在,的和函数为,问,在,处的幂级数展开式是什么,?,2.,设函数,在,上的幂级数展开式为,若上式右边的幂级数在,(,或,),收敛,能否,得出上式在,(,或,),成立,?(,结合例,8,进行讨,论,),复习思考题 1.设幂级数在的和函数为,问 在处的幂级数,
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