第六章 主应力法-2009.5.10

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第六章,主应力法及其应用（切块法）,变形力：在塑性加工过程中，工具通过与坯料的接触面，对坯料施加作用力，当此作用力达到一定值时，坯料发生塑性变形，此时，工具作用在,坯料上,的作用力称为变形力。,第一节 概,述,1,确定变形力的目的：,可分析变形规律，确定成形极限；,合理设计模具；,选择锻压设备；,制订工艺规程，变形力和变形功是不可缺少的数据,.,因此，确定变形力、变形功是塑性加工过程力学分析的,基本任务之一,。,金属塑性成形原理,第六章,主应力法,在塑性状态下，求解物体内应力的大小与分布要比在弹性状态下困难得多，这主要是因为塑性应力,应变关系方程是非线性的。从理论上讲，联解平衡徽分方程和屈服准则，需要补充必要的物理方程和几何方程，在一定的边界条件下可以求得变形体内的应力大小及分布。进而求得变形力。但是这种数学解析只在某些特殊的情况下才能解，而对于一般空间问题，数学上极其困难，甚至不可能解。,2,方程数：,3,个平衡微分方程,1,个塑性条件方程,6,个应力,应变关系方程,3,个变形连续方程（协调方程）,共,13,个,，且为高阶偏微分方程。,未知数：,x,、,y,、,z,、,xy,、,yz,、,zx,、,x,、,y,、,z,、,xy,、,yz,、,zx,、,13,个。,虽然未知数和方程数相等，但实际上这十三个联立方程是无法解的，需要将问题进一步简化。,金属塑性成形原理,第六章,主应力法,1,、空间问题：,3,方程数：,2,个微分平衡,1,个塑性条件,4,个应力,应变关系,2,个变形连续方程。共,9,个,未知数：,、,、,z,、,z,、,、,、,z,、,z,、,9,个。,2,、轴对称,问题,：,可见，轴对称问题比一般的空间问题简单，但只有在个别情况下，当边界剪应力为零或只与一个坐标轴有关才有精确的解。,4,因此，许多学者在塑性理论的基础上，引进了各种简化假设，提出了许多求解塑性问题的近似解析方法。,这种简化的计算方法，我们称初等解析法，也称主应力法。主要用于程上,。,金属塑性成形原理,第六章,主应力法,属于静定问题，理论上可解。但这类也总是只有在部分条件下，即边界剪应力条件特殊时，（等于,0,，,或,只与一个坐标轴有关时）才有精确的解。,方程数：,2,个微分平衡，,1,个塑性条件共,3,个。,未知数：,x,、,y,、,z,、,xy,3,个,3,、平面问题：,5,一主应力法的实质,主应力法又称切块法，是塑性成形中求解,变形力,的一种,近似解法,。它通过对应力状态作一些近似假设，建立以,主应力表示的,简化平衡方程和塑性条件，使求解过程大大简化。,主应力法属于一种初等解析法，仍然是利用平衡方程与塑性条件联解采取了一些简化条件。,第二节,主应力法的基本原理（切块法）,6,根据,实际变形区情况，将复杂问题近似地按轴对称问题或平面问题来处理，并选用相应的坐标系。对于变形复杂的过程。如模锻，可以分成若干部分，每一部分分别按平面问题或轴对称问题处理，最后组合在一起，得到整个问题的解。,（,1,）将复杂变形体简化成平面应变问题或轴对称问题,二、,主应力法要点（假设）,切块法,7,（,2,）假设变形体内的某一方向法向应力分布与一个坐标轴无关。,根据某瞬时变形体的变形趋向，截取包括接触平面在内的典型基元块，在接触面上有正应力和切应力（摩擦力），且假设在其他截面（非接触面）上仅有均布的正应力即主应力。,这样处理的结果使平衡方程缩减至一个，而且由偏微分方程变为常微分方程。该,平衡方程,可以通过基元块的静力平衡条件得到。,8,建立塑性条件时，假设非主应力为主应力，通常把接触面上的正应力假设为主应力，即忽略了摩擦切应力的影响。这样，就使塑性条件简化为线性方程，这就是所谓近似屈服准则。,对于平面应变问题，塑性条件,:,可简化为,x,-,y,=,s,=2K,（,3,）采用近似的屈服准则,9,例如以上分析中，我们可以假设,x,、,y,为主应力,1,、,3,。,这时不考虑剪应力,的影响。这就是塑性条件由原来的非线性化。如果,非常大时。误差结果也就较大。,将上述的平衡方程与近似屈服准则联解，以求接触面上的应力分布，这就是主应力法。,由于该方法需要截取基元块，又形象地称为切块法。,10,金属塑性成形原理,第六章,主应力法,二、,几种金属流动类型变形力公式的推导,下面我们要用主应力方法来推导几种类型的变形的公式：,平面应变：,镦粗,挤压,轴对称问题：,镦粗,挤压,11,（一）平面应变的横向流动（镦粗型）,(1),平衡微分方程,长矩形板镦粗时的变形力和单位流动压力，因,l,h,，,x,e,，,故,l,方向变形为,0,，,因此可视为平面问题来处理。,1,、列基元体平衡微分方程,12,微分后得：,(2),1,-,3,=,y,-,x,1,=-,x,3,=-,y,2,、建立塑性条件,由于,x,，,y,都是压力，故,这时,y,、,x,为正值，即绝对值,13,积分后得,将（,2,）代入（,1,）,得,3,、联解平衡方程和塑性条件,14,当,时,这时,自由表面,4,、由,边界条件,确定积分常数,C,，求出应力分量,y,15,5,、确定单位流动压力（即单位面积的平均变形力）,16,在塑性成形中，经常会遇到各种上下砧板倾斜的情况。,有收敛式流动，爬升式流动，散射式流动，下滑式流动。这些问题属于平面镦粗变形一类。,17,若取,因0，0,因0，0,推出,y,和,p,的计算公式。以收敛式流动为代表,.,1,、取基元体如图：建立平衡方程式,18,得,同理,找到,y,、,u,与,l,的关系,则由静力平衡关系,dx,19,金属塑性成形原理,第六章,主应力法,(1),代入平衡方程整理得：,又由几何关系,20,这时,y,、,x,为正值，即绝对值,(2),(3),由近似塑性条件,微分得：,2,、建立塑性条件,21,（,1,）、（,2,）、（,3,）式联解得：,C,为待定常数,金属塑性成形原理,第六章,主应力法,这里,令,22,3,、由边界条件确定积分常数,C,，,求出应力分量,y,时,当,由边界条件知：,23,金属塑性成形原理,第六章,主应力法,说明：该解法适合与其它三种情况平板镦粗，只是按图示中,、,正负值代入即可。,4,、确定单位流动压力,2006.5.12,第,12,周,3,、,4,节,24,（二）平面应变的纵向流动（挤压型）,宽板挤压和锻件宽筋的充满均属于该类型。它的分析方法可以对比前面我们讨论的倾斜砧板镦粗收敛式流动推出的计算公式：,按照所选择的坐标系和坐标方向，对比得：,（,、,为正值）,式中：,25,金属塑性成形原理,第六章,主应力法,26,（,、,为负值）,x,、,y,取正值,金属塑性成形原理,第六章,主应力法,分析：,x,、,y,均为压应力，但,x,方向为压应变。而,y,方向为拉应变。,比较前面,所以：近似塑性条件为：,27,金属塑性成形原理,第六章,主应力法,确定,xe,，,当,y=y,e,时，为自由表面，这时，,ye,=0,28,当,y=0,时，为挤压变形所需的单位流动压力值。,金属塑性成形原理,第六章,主应力法,29,（三）轴对称变形的横向流动（镦粗型）,求砧面的单位流动压力。,1,、取基元板块，列平衡方程式,摩擦条件为,设有平行砧板间的轴对称镦粗。,30,1,、取基元板块，列平衡方程式,31,很小,取,假定变形体为轴对称均匀镦粗变形。,上式可化成：,(1),则有,忽略高阶小量，化简得，,32,2,、建立塑性条件,近似的塑性的方程为：,(2),(3),微分得,将（,3,）代入得,积分得,所以主应力为,r,、,z,、,按主应力方法，取,r,、,z,、,方向为主应力方向。,33,金属塑性成形原理,第六章,主应力法,当,r=r,e,时，,3,、由边界条件确定积分常数,C,，,求出应力分量,z,34,4,、求单位流动压力,35,忽略高阶小量，化简得,(1),（四）、轴对称变形的纵向流动（挤压型）,1,、取基元板块，列平衡方程式,36,(2),(3),r,、,z,取正值,金属塑性成形原理,第六章,主应力法,而,因为,r,、,z,均为压应力,由静力平衡关系式：,2,、建立塑性条件,37,由（,1,）、（,2,）、（,3,）联解得：,由几何关系得,积分得,式中,38,3,、由边界条件确定积分常数：,C,4,、,求单位流动压力,金属塑性成形原理,第六章,主应力法,则,当,当,z=0,，,z,为单位流动压力,39,金属塑性成形原理,第六章,主应力法,其中,40,应用主应力法可以求解凸缘区的应力分布。设拉延过程中板厚不变，且暂不考虑外摩擦影响,从,凸缘变形区切取一扇形基元体，该单元处于平衡状态，由径向合力为,0,得,(1),拉延,凸缘变形区的应力分布,dR,R,1,、取基元板块，列平衡方程式,41,略去高阶微量，整理后得,(2),式中应力为绝对值表示,R,dR,42,因,处于塑性状态，根据,Mises,屈服准则有,(3),(4),式中,Y,是材料的真实应力，可根据变形程度由真实应力,-,应变曲线求得，但由于凸缘上不同,R,处有不同的变形程度，因此,Y,是,R,的函数。,联解（,2,），（,3,）得,2,、建立塑性条件,R,dR,43,取平均值 假设整个变形区的真实应力为某一平均值,(5),代入（,3,）得切向压应力为,(6),积分得,dR,R,3,、由边界条件确定积分常数：,C,44,45,46,47,48,1,1,O,x,y,1,1,O,x,y,dx,49,