函数的单调性

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,函数的单调性,（说课）,许昌高中罗建军,各位老师、各位领导大家好，我今天说课的课题是：,函数的单调性,教材分析,目标分析,教法分析,说课过程,过程分析,1,、教材的地位与作用,本节课,函数的单调性,是,高中数学第一册（上）,2.3,的内容，它是在学习了函数概念的基础上所研究的函数的一个重要性质，常伴随着函数的其它性质出现，既是在学生学过函数概念等知识后的延续和拓展，又是后面研究指数函数、对数函数、三角函数各类函数的单调性的基础，在整个高中数学中起着承上启下的作用。研究函数单调性的过程体现了数学的“数形结合”和“从一般到特殊”的思想方法，这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有重大意义。,一、教材分析,2,、教学的重点、难点,教学重点：,（,1,）函数单调性的概念；,（,2,）函数单调性的实质，明确单调性是一个区间概念。,教学难点：,（,1,）利用函数单调性的概念证明或判断函数的单调性；,（,2,）函数单调性的应用。,由于判断或证明函数的单调性时，常常要综合运用一些知识（如不等式、因式分解以及数形结合的思想方法等），因此函数单调性的判断或证明是本节的一个难点。,二、目标分析,根据教学大纲的要求和教学内容的结构特征，依据学生学习的心理规律和素质教育的要求，结合学生的实际水平，本节课教学目标如下：,1,、知识目标,理解函数的单调性的概念，把握函数单调性的实质；,掌握判断和证明一些简单函数单调性的方法和步骤。,2,、能力目标,通过对单调性的概念的学习，培养学生的观察能力，分析归纳能力，领会数学的归纳转化的思想方法。,通过对单调性的概念的学习，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式。,通过题组的练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。,3,、情感目标,通过对单调性的研究，在引导学生观察、发现、归纳的过程中，渗透“数形结合”、“从特殊到一般”等数学思想方法，在得出数学概念、推理、论证数学结论的过程中培养学生的逻辑推理能力和创新意识。,通过对单调性的研究，培养学生主动探索、勇于发现科学的精神，培养学生的创新意识和创新精神，使学生认识事物的变化形态，养成细心观察、认真分析的良好思维习惯，同时，培养学生对数学美的艺术体验。,三、教法分析,教学方法采用启发诱导，学生讨论相结合的方法，这样可以充分调动学生的积极性，增强同学们的参与机会，让学生在学中思，在思中学，培养学生的数学观察猜想能力，启迪学生的探索灵感。因为学生在初中学过一些简单函数图象的画法，所以可以根据一些基本函数的图象让学生自己去发现一些变化规律，如某些函数的图象逐渐向上方延伸，有些函数的图象是向下方延伸等，让学生有一个直观的感受，然后在教师的引导下让学生形成感性认识。通过设问，让学生充分进行讨论，逐步引导学生形成概念。,四、过程分析,1,、复习引入：,（,1,）函数的概念，函数的表示方法，以及一些常见的简单函数如：一次函数、二次函数、反比例函数等。,插入图片,（,2,）让学生自己画出这些函数的图象，并观察图象的变化。,（,3,）,让学生自己分析每个图象的特点，能不能从中找到相同点和不同点。,（设计意图：通过学生熟悉的知识引入新课题，有利于激发学生的学习兴趣和学习热情，同时也可以培养学生观察、猜想、归纳的思维能力和创新意识，增强学生自主学习、独立思考，由学会向会学的转化，形成良好的思维品质。）,2,、（师）通过大家对上述图象的分析可以得到什么样的直观感受？可以让学生进行充分的讨论，教师启发诱导，让学生发表自己的看法，然后找同学回答自己的认识。,最后把大家的认识统一为感知图象有时是上升的，有时是下降的。,（,设计意图：其实函数图象的上升或下降的规律就是函数单调性的表现形式，它是函数单调性的一种图形语言，如果大家能有这样的统一认识，就为学习函数的单调性问题打下了坚实的基础，但是有一点需向学生指明，图象上升或下降应该在方向上取得统一，对函数的图象来说，方向是以,x,轴正方向为参照即从左向右。那么如何把它提升到理论高度，就需要教师的进一步引导。）,3,、请同学们再观察图形,2,和图形,3,，提问：它们在整个定义域内是上升或下降的吗？找同学来回答。,（设计意图：通过提问让同学们明白函数的单调性是一个区间的概念，其中在一个区间内上升就称为“单调增”，在一个区间内下降就称为“单调减”。）,插入图片,下一张,下,y,x,o,图,1,x,y,o,图,2,o,y,x,图,3,返回,x,y,o,图,2,o,y,x,图,3,返回,4,、提问：请大家考虑，如何把我们感知的上升或下降用数学语言表达出来呢？可让同学们进行交流讨论，让学生暴露出各种想法，从中发现学生的认识情况，以便教师进行指导。,5,、在教师的引导下同学们可得出：,x,增大，,y,增大,单调增；,x,减小，,y,减小,单调减；,虽然这样比语言叙述进了一步，但仍是图形语言，如何用符号语言来表述呢？请同学们思考。,（设计意图）：图形是一种直观的东西，如何把它转化为数学语言，进一步转化为符号语言，这是一个难点，应让同学们充分讨论，拿出自己的思路，以便于接受。在此过程中教师可以引导有关“增大”，“减小”等概念是怎样用数学符号体现出来的，比较是体现增大或减小的一种方式，如 是不是能说明 值在增大呢？是不是能说明 值在增大呢？,6,、找同学总结单调增和单调减的符号表示形式：,，则函数单调增；,，则函数单调减；,7,、（师）上面的表达方式能不能作为函数单调性的概念呢？请同学们看书，把上面的结论和课本中函数单调性的概念进行对比，能否发现什么不同？,（生）课本中有关单调增，单调减的概念中必须强调 是某区间上的任意两个自变量。,（师）为什么要强调 是某区间上的任意两个自变量呢？如图,2,，,取 ，但对应图象可知，并不单调。,（设计意图）学习过程中让学生学会质疑是非常重要的，这样可以拓展学生的思路，通过比较可以加强学生对概念的理解。,8,、让学生自己先进行总结，之后由教师给出函数单调性的概念：,定义,1,：如果对于属于定义域 内某个区间上的任意两个自变量 的值，当 时，都有 ，那么就说 在这个区间上是增函数；,定义,2,：如果对于属于定义域 内某个区间上的任意两个自变量 的值，当 时，都有 ，那么就说 在这个区间上是减函数；,定义,3,：如果函数 在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数 在这区间具有（严格的）单调性，这区间叫做 的单调区间,（设计意图）通过给出函数单调性的严格定义，目的是为了让学生更准确地把握概念，理解函数的单调性其实也叫做函数的增减性，它是对某个区间而言的，它是一个局部概念，同时明确判定函数在某个区间上的单调性的一般步骤,.,（师）请同学们根据以上函数单调性的定义自己总结判断或证明函数单调性的方法即一般步骤是什么？,（生）设 属于给定区间，且 ；,计算 至最简；,判断上述差的符号；,下结论（若差,0,，则为减函数）,可能学生总结的不够完整，教师可以加以引导，帮助学生共同完成总结过程。,（设计意图）通过师生共同总结，得出使用定义证明的一般步骤：任取,作差,变形,定号，由于这个步骤规范，便于操作，无疑对于培养学生逻辑思维的严谨性、强化学生恒等变形的基本技能和方法都将起到积极作用，并为高二学习比较法证明不等式奠定了基础,.,9,、例题分析,例,1.,（课本,P58,页，打出幻灯片师生共同观察图象，一起分析作答）,插入图片,（设计意图）让学生了解函数在某一区间上是否具有单调性，从图象上观察是一种常用而又简捷直观的方法，可以通过本例培养学生数形结合的数学思想。,练习：判断函数 的单调区间,例,2,可在前述总结证明函数单调性方法的基础上引导学生分析证明的方法并给出证明过程，让学生明确逻辑推理的方法和步骤。,例,3,可让学生相互讨论，调动学生参与学习积极性和主动性，形成生动活泼的学习氛围。,例,2.,证明函数 在,R,上是单调增函数,例,3.,证明函数 在 上是减函数,例,3,（设计意图）用图象观察函数的单调性只是一种很粗略的方法，严格地说，它需要根据单调性的定义进行逻辑推理论证，通过例,2,可引导学生进一步概括出判断或证明函数单调性方法及步骤，使学生突破本节的难点，掌握重点内容，同时提示学生注意证明过程的规范性及严谨性，说明数学题型间的转化关系，使学生体验数学中的艺术美。,例,3,可让学生相互讨论，调动学生参与学习积极性和主动性，形成生动活泼的学习氛围。,例,2,向下,例,2.,证明：设任意 ，且,则,由 得,即,在,R,上是增函数,返回,证明：设任意,则,由,又,在 上是减函数,例,3.,返回,x,-5,-3,2,5,o,y,1,返回,10,、课堂练习：,P5913,题（打出幻灯片）,11,、归纳小结：本节课我们学习了函数的单调性的知识，同学们要牢记：单调性是对某个区间而言的，同时在理解定义的基础上，要掌握证明函数单调性的方法步骤，正确进行判断和证明。,小结内容可由师生合作总结，体现“教师为主导，学生为主体”的思想。通过师生合作要对本节课内容作出全面小结，除知识外，对所用到的数学方法，也进行适当的小结。,（设计意图）通过课堂练习加深学生对概念的理解，进一步熟悉证明或判断函数单调性的方法和步骤，达到巩固，消化新知的目的。同时强化解题步骤，形成并提高解题能力。,（设计意图）通过小结使学生对本节课所学知识的结构有一个明晰的认识，能抓住重点进行课后复习。,12,、布置作业：、练习,P60 4,，习题,2.3 3,、,4,、研究与思考：是否存在实数 ，使函数 在 上是减函数，若存在求出 的范围，若不存在说明理由,.,（设计意图）通过课后作业，使学生巩固所学知识，对学有余力的同学留出自由发展的空间，培养学生创新意识和探索精神,.,13,、板书设计,函数的单调性,一、复习引入（投影）,例,2.,（投影）,四、课后小结,二、定义,三、例题 例,3.,（投影）,例,1.,（投影）,谢谢大家光临指导！,许昌高中,罗建军,