第三节幂级数

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三节,幂级数,一、函数项级数的一般概念,1.,定义,:,2.,收敛点与收敛域,:,函数项级数的部分和记为,余项记为,那,末在收敛域上，,注意,函数项级数在某点,x,的收敛问题,实质上是常数项级数的收敛问题,.,3.,和函数,:,(,定义域是,?),解,由达朗贝尔判别法,原级数绝对收敛,.,原级数发散,.,收敛,;,发散,;,（,续）,二、幂级数及其收敛性,1.,定义,:,2.,收敛性,:,证明,（如果数列的极限存在，则该数列有界）,由,(1),结论,几何说明,收敛区域,发散区域,发散区域,推论,定义,:,正数,R,称为幂级数的,收敛半径,.,幂级数的收敛域称为幂级数的,收敛区间,.,规定,问题,如何求幂级数的收敛半径,?,幂级数,的收敛区间有以下四种可能的情况：,证明,由比值审敛法,综上所述，级数的,定理证毕,.,例,2,求下列幂级数的收敛区间,:,解,该级数收敛,该级数发散,发散,收敛,故收敛区间为,(0,1.,解,缺少偶次幂的项,级数收敛,级数发散,级数发散,级数发散,原级数的收敛区间为,注意：在求,缺少偶次幂或奇次幂项的幂级数的收敛半径时，不能直接用,P,。,257,的定理,2,，应从常数项正项级数的比值判定法出发求收敛半径,三、幂级数的运算,1.,代数运算性质,:,(1),加减法,(其中,(2),乘法,(其中,柯西乘积,(3),除法,(,相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多,),2.,和函数的分析运算性质,:,(,收敛半径不变,),(,收敛半径不变,),解,两边积分得,P.318 8.(3),解,收敛区间,(-1,1),思考题,幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？,思考题解答,不一定,.,例,它们的收敛半径都是,1,但它们的收敛域各是,判定下列级数的收敛性：,原级数发散,是常数项级数,是函数项级数,