隐函数是函数关系的另一种表现形式讨论隐函数的存在性

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,隐函数是函数关系的另一种表现形式,.,讨论隐函数的存在性、连续性与可微性,不仅是出于深刻了解这类函数本身的需要,同时又为后面研究隐函数组的存在性问题打好了基础,.,11.1,隐函数的存在性,四、隐函数求导数举例,一、隐函数概念,二、隐函数存在性条件分析,三、隐函数定理,第十一章 隐函数,方程式所确定的函数,通常,称为隐函数,例如：,一、隐函数概念,显函数：,因变量可由自变量的某一分析式来表示,的函数称为显函数例如：,隐函数：,自变量与因变量之间的关系是由某一个,隐函数一般定义：,则成立恒等式,有惟一确定的,与之对应,能使,且满足方程,(1),则称由方程,(1),确定了一个定义在,值域含于,的隐函数,.,如果把此隐函数记为,取值范围例如由方程可确定如下两,个函数：,注,2,不是任一方程 都能确定隐函数,例如 显然不能确定任何隐函数,注,1,隐函数一般不易化为显函数，也不一定需要,化为显函数上面把隐函数仍记为 ，这,与它能否用显函数表示无关,注,3,隐函数一般需要同时指出自变量与因变量的,在,2,还要讨论由多个方程确定隐函数组的问题,.,注,4,类似地可定义多元隐函数例如,:,由方程,确定的隐函数,由方程,确定的隐函数,等,等,.,二、隐函数存在性条件分析,条件时，由方程,(1),能确定隐函数,并使,要讨论的问题是：当函数 满足怎样一些,该隐函数具有连续、可微等良好性质,?,(a),把上述看作曲面 与坐标,平面的交线，故至少要求该交集非空，即,，满足,连续是合理的,(b),为使 在 连续，故要求 在点,由此可见，是一个重要条件,点 存在切线，而此切线是曲面 在点,的切平面与 的交线，故应要求 在,(c),为使 在 可导，即曲线在,点 可微，且,(d),在以上条件下，通过复合求导数,由,(1),得到,三、隐函数定理,定理,11.1,(,隐函数存在惟一性定理,),设方程,(1),中,的函数 满足以下四个条件：,(i),在以 为内点的某区域 上连续；,(ii),(,初始条件,),；,(iii),在 内存在连续的偏导数 ；,(iv),则有如下结论成立：,在 上连续,惟一地确定了一个隐函数,它满足：,且当 时,使得,证,首先证明隐函数的存在与惟一性,证明过程归结起来有以下四个步骤,(,见图,11,1),：,存在某邻域 ，在 内由方程,(1),(c),同号两边伸,(d),利用介值性,(b),正、负上下分,_,_,_,+,_,0,(a),一点正,一片正,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,图,11,1,(a)“,一点正,一片正”,由条件,(iv),不妨设,因为 连续，所以根据,保号性，使得,(a),一点正,一片正,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,(b),正、负上下分,_,_,_,+,_,0,(b)“,正、负上下分”,因 故,把 看作 的函数，它在 上,严格增，且连续,(,据条件,(i),特别对于函数,由条,因为 关于 连续，故由,(b),的结论，根据保号性，使得,(c),同号两边伸,(c)“,同号两边伸”,(d)“,利用介值性”,因,关于 连续,且严,格增，故由,(c),的结论，依据介值性定理,存在惟,(d),利用介值性,满足,一的,就证得存在惟一的隐函数,:,由的任意性,这,若记 则定理结论 得证,下面再来证明上述隐函数的连续性,:,欲证上述 在 连续,.,类似于前面,(c),，,使得,由 对 严格增，而,推知,.,.,图,11,2,足够小，使得,如图,11,2,所示,取,在 上处处连续,因此 在连续,.,由的任意性,便证得,且当 时，有,类似于前面,(d),，由于隐函数惟一，故有,注,1,定理,11.1,的条件,(i),(iv),既是充分条件,又,是一组十分重要的条件,.,例如：,在点 虽,不满足条件,(iv),，但仍能确定惟一的隐函数,(,双纽线,),在,点 同样不满足,条件,(iv);,如图,11,3,所示,在该点无论多,图,11,3,么小的邻域内,确实,用这两个较强的条件，一则是使用时便于检验，,的作用,二则是在后面的定理,11.2,中它们还将起到实质性,注,3,读者必须注意,定理,11.1,是一个,局部性,的隐,函数存在定理例如从以上双纽线图形看出,:,除了,三点以外,曲线上其余各点处都,注,2,条件,(iii),、,(iv),在证明中只是用来保证在邻,域 内 关于为严格单调之所以采,不能确定惟一的隐函数,.,存在局部隐函数,(,这不难用定理,11.1,加,以检验，见后面第四段的例,),注,4,在方程 中,与 的地位是平等,的,.,当条件,(iii),、,(iv),改为,时，将存在局部的连续隐函数,连续,且,“,”,定理,11.2,(,隐函数可微性定理,),设函数 满,足定理,11.1,中的条件,(i),(iv),在 内还存在连,续的,.,则由方程 所确定的隐,函数 在,I,内有连续的导函数，且,(,注,:,其中,示于定理,11.1,的证明,(d).,使用微分中值定理,使得,证,设则,由条件易知,F,可微，并有,显然也是连续函数,因 都是连续函数,故 时,并有,(3),注,1,当 存在二阶连续偏导数时，所得隐函,数也二阶可导应用两次复合求导法，得,将,(2),式代入上式，经整理后得到,注,2,利用公式,(2),(3),求隐函数的极值,:,(a),求使 的点,即 的解,(b),在点 处因，而使,(3),式化简为,(4),(c),由极值判别法,当 时,隐函数,在 取得极大值,(,或极小值,),设在以点 为内点的某区域 上,则存在某邻域 在其内存在惟一的、连,续可微的隐函数 ，且有,注,3,由方程,(5),确定隐函数的相关定理简述如下：,F,的所有一阶偏导数都连续，并满足,(6),更一般地，由方程,确定隐函数 的相关定理,见华,师大下册,p.149,上的定理,18.3,这里不再详述,.,解,令 它有连续的,求解 分别得到,四、隐函数求导数举例,例,1,试讨论双纽线方程,所能确定的隐函数,再考虑隐函数的极值由于,在其他所有点处都存在局部的可微隐函数,所以，除 这三点外，曲线上在其他,所有点处都存在局部的可微隐函数,同理，除 这五点外，曲线上,性又知,各点处都能确定局部的隐函数,例,2,讨论笛卡儿叶形线,(,图,11,4),(7),所确定的隐函数 的存在,性，并求其一阶、二阶导数,解,令,先求出在曲线,(7),上使,的点为,.,除此两点外,方程,(7),在其他,图,11,4,然后再算出,:,为了使用公式,(3),先算出,:,由公式,(2),求得,平切线和垂直切线,类似于例,1,的方法,求出曲线上使 的点为,在几何上，它是两条曲线,和,的交点,(,见图,).,容易验证,所以,隐函数在点 取得极大值,以上讨论同时说明,该曲线在点 和 分别有水,例,3,试求由方程 所确定的隐,函数 在点 处的全微分,解法,1(,形式计算法,),对方程两边微分，得,将 代入，又得,解法,2(,隐函数法,),设,由于 上处处连续,而,因此在点,P,附近能惟一地确定连续可微的隐函数,且可求得它的偏导数如下：,以 代入,便得到,例,4,用隐函数方法处理反函数的存在性及其导数,.,解,设 在 的某邻域内有连续的导函数,且 现在来考察方程,由于,因此只要 就能满足隐函数定理的所有,条件,由方程,(8),便能确定连续可微的隐函数,(8),因它满足 故它就是,的反函数,.,应用隐函数求导公式,可得,故将此两式相加便得所需结果,.,例,5,设 是由方程,所确定的隐函数,其中,F,具有连续的二阶偏导数,试证,:,证,易知 于是有,由此得到 再分别对,x,与,y,求偏导数,又得,因在假设条件下,1,在隐函数的定义中，为什么强调必须指出,3,设能确定连续可微的隐函数,:,(,由此能说明些什么,?),验证：,2,在定理,18.1,对隐函数连续性进行证明时，,复习思考题,因变量的取值范围？,(,结合例题加以说明,.),最后为什么要用到隐函数的惟一性？,4.,试对例,3,的两种解法,(,形式计算法与隐函数,法,),作一比较,指出两者各有哪些优缺点,?,