向量的概念(1)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一、向量的概念,二、向量的坐标表示法,第二节 向量及其坐标表示法,第八章 向量代数 空间解析几何,记为,0,，其方向不定,.,如果方向相同、模相等，,模等于,1,的向量称为,单位向量,.,即,经,平行移动后，两向量完全重合,.,既有大小又有方向的量，,如力、位移、速度、加速度等,.,这类量,称为,向量,，,或,称为,矢量,.,向量,a,的,大小称为该向量的模，,记,作,|,a,|,;,与,a,同向的单位向量记为,a,，,模等于,0,的向量称为,零向量,，,两个,向量,a,与,b,不论起点是否一致，,则,它们是,相等的,，,记为,a,=,b,.,允许自由移动的向量称为,自由向量,.,一、向量的概念,这就是向量加法的,平行四边形法则,.,这个法则可以推广到任意有限个向量相加的情形,.,以,a,、,b,为边的,平行四边形的对角线所表示的向量,如左图,，,则由,a,的,起点到,b,的,终点的向量,.,设有两个非零向量,a,、,b,，,称为两向量,a,与,b,的,和,向量,，,记为,a,+,b,，,若以,向量,a,的终点作为向量,b,的起点，,也是,a,与,b,的和向量,.,这是向量加法的,三角形法则,.,定义,1,b,a,a,b,a,b,c,a+b,b+c,(,a+b,),+c=a+,(,b+c,),a+b,若向量,b,加,向量,c,等于向量,a,，,从图中可以看出,:,向量的加法满足交换律和结合律,.,即,a,+,b,=,b,+,a,(,a,+,b,)+,c,=,a,+(,b,+,c,).,根据向量加法的三角形法则，,则称向量,c,为,a,与,b,之差，,记为,c,=,a,-,b,.,c=a,b,a,b,是一个非零实数,，,定义,2,设,a,是一个非零向量,，,则,a,与,的乘积仍是一个向量,，,记,作,a,，,且,(,1,),|,a,|=|,|,a,|;,(,2,),a,的,方向,与,a,同向,，,当,0,，,与,a,反向,，,当,0,，,如果,=0,或,a,=,0,，,规定,a,=,0,.,数乘向量满足结合律与分配律，即,(,a,)=(,),a,，,(,a,+,b,)=,a,+,b,，,(,+,),a,=,a,+,b,，,其中,，,是数量,.,设,a,是非零向量，,由数乘,向量的定义可知，,且,与,a,同方向，,所以有,向量 的模等于,1,，,因此任一非零向量,a,都可以表示为,终点为,P,(,x,y,z,),.,过,a,的终点,P,(,x,y,z,),作三个平面分别垂直于三条坐标轴，,则点,A,在,x,轴上的坐标为,x,，,在,空间直角坐标系中，,与,x,轴、,y,轴、,z,轴的正向同向的单位向量分别记为,i,、,j,、,k,，,称为,基本单位向量,.,设,向量,a,的起点在坐标原点,O,，,设垂足依次为,A,，,B,，,C,，,根据向量与数的乘法运算得向量,二、向量的坐标表示法,i,x,OA,=,于是，由向量的三角形法则，有,称,a,=,x,i,+,y,j,+,z,k,为,向量,a,的坐标表达式，,记作,其中,x,，,y,，,z,称为向量,a,的坐标,.,x,z,A,B,C,Q,a,i,j,P,O,y,k,向量的坐标表示法,求向量,a,的坐标表达式,.,例,1,已知 是以,A,(,x,1,y,1,z,1,),为起点，,B,(,x,2,y,2,z,2,),为终点的向量，,解,A,z,y,x,O,B,a,设,则,(,为数量,).,或,例,2,已知,a,=2,-,1,-,3,，,b,=2,1,-,4 ，,求,a,+,b,a,-,b,3,a,-,2,b,.,解,a,+,b,a,-,b,3,a,-,2,b,那么它的终点坐标,A,的坐标就是,(,a,x,a,y,a,z,),.,a,的起点放在坐标原点，,由两点间距离公式可知,x,P,Q,y,R,z,A,O,a,b,非,零,向量,a,与三坐标轴正向的夹角,、,(,其中,0,0,0,),，称为向量,的,方向角,;,这三个角的余弦,cos,、,cos,、,cos,称为向量,a,的,方向余弦,.,因为,OPA,、,ORA,都是直角三角形，所以,例,3,已知,M,1,(1,-,2,3),、,M,2,(4,2,-,1),，,求 的模及方向余弦,.,解,由条件可得,设向量,a,的两个方向余弦为,求向量,a,的坐标,.,可知,例,4,解,因为,所以,=2,4,4,或,=2,4,4.,因此,求其合力,F,的大小及方向角,.,例,5,已知作用于一质点的三个力为,F,1,=,i,2,k,，,F,2,=2,i,3,j,+,4,k,，,F,3,=,j,+,k,，,解,因为,F,=,F,1,+,F,2,+,F,3,所以，可得,合力的三个方向角为,查表可得,因此，合力大小的近似值为,4.7,个单位，,