3-1不定积分的概念与性质

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三章 不定积分,(indefinite integral),高等数学,03-01-01,第一节,不定积分的概念与性质,(the concept and properties of indefinite integral),高等数学 03-01-02,一、,不定积分概念,二、,基本积分公式,三、,不定积分的性质,高等数学 03-01-03,导数,已知函数，求函数的变化率。,不定积分,已知一个函数的变化率，求该函数。,高等数学 03-01-04,高等数学 03-01-05,例,将适当的函数填入括号内，使等式成立：,原函数,(,primitive function),设函数,f,(,x,),在某区间内有定义，若存在函数,F,(,x,)，,使得在该区间内的任何一点都有,F,(,x,)=,f,(,x,),或,dF,(,x,)=,f,(,x,),dx,成立，则称,F,(,x,),为,f,(,x,),的一个,原函数,。,高等数学 03-01-06,原函数不唯一。若,F,(,x,),是,f,(,x,),的一个原函数，则,F,(,x,)+,C,（,C,为任意常数）也是,f,(,x,),的,原函数，称为,函数族,。,高等数学 03-01-07,若函数,f,(,x,),和,g,(,x,),在区间(,a,b,),内满足,f,(,x,)=,g,(,x,)，,则在区间(,a,b,),内成立,f,(,x,)=,g,(,x,)+,C,（,C,为一常数）,高等数学 03-01-08,定理,若,F,(,x,),是,f,(,x,),的一个原函数，则,f,(,x,),的,所有,原函数都可以表示为,F,(,x,)+,C,（,C,为任意常数）的形式。,高等数学 03-01-09,不定积分,(,indefinite integral),函数,f,(,x,),的所有原函数称为,f,(,x,),的,不定积分,，记为 ，即,其中,f,(,x,),称为,被积函数,，,f,(,x,),dx,称为,被积表达式,，,x,称为,积分变量,，称为积分号，,C,是任意常数，称为,积分常数,。,高等数学 03-01-10,高等数学 03-01-11,例,求,高等数学 03-01-12,例,求 的不定积分。,高等数学 03-01-13,例,求,原函数的存在性,如果,f,(,x,),在某一区间上连续，则在这区间上,f,(,x,),的原函数一定存在。,高等数学 03-01-14,由于初等函数在其定义区间内连续，所以初等函数在其定义区间内一定有原函数。,例,设一条曲线通过点,A(1,0),且其上任一点(,x,y,),处的切线斜率为 2,x,，,求此曲线方程。,高等数学 03-01-15,y,O,x,积分曲线族,高等数学 03-01-16,不定积分的几何意义,不定积分 在几何上表示一族平行曲线，这些平行曲线由积分曲线,y,=,F,(,x,),沿,y,轴平行移动距离,C,而得到，称为,积分曲线族,。,高等数学 03-01-17,例,以初速,v,0,将质点铅直上抛，不计阻力，求它的运动规律。,高等数学 03-01-18,高等数学 03-01-19,例,已知示踪药物浓度,y,和时间,t,的函数变化关系为,求示踪药物浓度,y,和时间,t,的函数关系。,高等数学 03-01-20,高等数学 03-01-21,性质1,性质2,高等数学 03-01-22,或,或,性质3,性质4,高等数学 03-01-23,例,求积分,高等数学 03-01-24,例,求积分,高等数学 03-01-25,例,求积分,高等数学 03-01-26,例,求积分,高等数学 03-01-27,例,求积分,高等数学 03-01-28,课堂练习,求下列函数的积分,高等数学 03-01-29,（,1）,（,2）,例,求积分,高等数学 03-01-30,例,求积分,高等数学 03-01-31,例,求积分,高等数学 03-01-32,注,（1）,不定积分与原函数的区别,不定积分表示的是一个集合，它是一族原函数而不是一个原函数，故任意常数,C,不可漏掉；,（2）,当对原函数加上某种限制条件，就可以确定这个常数而得到满足限制条件的一个原函数；,高等数学 03-01-33,（3）,对于分项积分来说，只要最后写出一个常数就可以了。,高等数学 03-01-34,直接积分法,直接由不定积分的定义、性质和基本积分公式求积分的方法，称为不定积分的,直接积分法,。,高等数学 03-01-35,课堂练习,求下列函数的积分,高等数学 03-01-36,（,1）,（,2）,小结,：原函数,不定积分,不定积分几何意义,不定积分的基本积分公式,不定积分的性质,直接积分法,高等数学 03-01-37,作业,：,P66,习题三,2,(9)(13)(16)(20)(22)(24)(26),