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Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,*,1.3.2,奇偶性,1.3.2,奇偶性,2024/9/30,2,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,2024/9/30,3,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,2024/9/30,4,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,问题提出,1.,研究函数的基本性质不仅是解决实际问题的需要，也是数学自身发展的必然结果,.,例如事物的变化趋势，利润最大、效率最高等，这些特性反映在函数上，就是要研究函数的单调性及最值,.,2.,我们从函数图象的升降变化引发了函数的单调性，从函数图象的最高点最低点引发了函数的最值，如果从函数图象的对称性出发又能得到什么性质？,2024/9/30,5,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,知识探究（一）,考察下列两个函数：,思考,1:,这两个函数的图象分别是什么？二者有何共同特征？,x,y,o,图（,1,）,x,y,o,图（,2,）,思考,2:,对于上述两个函数,f,(1),与,f,(-1),，,f,(2),与,f,(-2),，,f,(3),与,f,(-3),有什么关系？,2024/9/30,6,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,思考,3:,一般地，若函数,y,=,f,(,x,),的图象关于,y,轴对称，则,f,(,x,),与,f,(-,x,),有什么关系？反之成立吗？,思考,4:,我们把具有上述特征的函数叫做偶函数，那么怎样定义偶函数？,如果对于函数,f,(,x,),定义域内的任意一个,x,，都有,f,(-,x,)=,f,(,x,),成立，则称函数,f,(,x,),为,偶函数,(even function),f,(,x,)=,f,(-,x,),2024/9/30,7,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,思考,5:,等式,f,(-,x,)=,f,(,x,),用文字语言怎样表述？,自变量相反时对应的函数值相等,思考,6:,函数 是偶函数吗？偶函数的定义域有什么特征？,偶函数的定义域,关于原点对称,2024/9/30,8,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,知识探究（二）,考察下列两个函数：,思考,1:,这两个函数的图象分别是什么？二者有何共同特征？,x,y,o,图（,1,）,x,y,o,图（,2,）,思考,2:,对于上述两个函数,f,(1),与,f,(-1),，,f,(2),与,f,(-2),，,f,(3),与,f,(-3),有什么关系？,2024/9/30,9,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,思考,3:,一般地，若函数,y,=,f,(,x,),的图象关于坐标原点对称，则,f,(,x,),与,f,(-,x,),有什么关系？反之成立吗？,思考,4:,我们把具有上述特征的函数叫做奇函数，那么怎样定义奇函数？,如果对于函数,f,(,x,),定义域内的任意一个,x,，都有,f,(-,x,)=-,f,(,x,),成立，则称函数,f,(,x,),为,奇函数,(odd function).,f,(,x,)=-,f,(-,x,),2024/9/30,10,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,思考,5:,等式,f(-x,)=-,f(x,),用文字语言怎样表述？,自变量相反时对应的函数值相反,思考,6:,函数,是奇函数吗？奇函数的定义域有什么特征？,奇函数的定义域,关于原点对称,2024/9/30,11,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,例,1.,判断下列函数的奇偶性：,(1),解：定义域为,R ,f,(-,x,)=(-,x,),4,=,f,(,x,),即,f,(-,x,)=,f,(,x,),f,(,x,),偶函数,(2),解：定义域为,R,f,(-,x,)=(-,x,),5,=-,x,5,=-,f,(,x,),即,f,(-,x,)=-,f,(,x,),f(x,),奇函数,(3),解：定义域为,x,|,x,0 ,f,(-,x,)=-,x,+1/(-,x,)=-,f,(,x,),即,f,(-,x,)=-,f,(,x,),f,(x),奇函数,(4),解：定义域为,x,|,x,0,f,(-,x,)=1/(-,x,),2,=f,(,x,),即,f,(-,x,)=,f,(,x,),f,(,x,),偶函数,2024/9/30,12,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,用定义判断函数奇偶性的步骤：,(1),、先求定义域，看是否关于原点对称；,(2),、再判断,f,(-,x,)=-,f,(,x,),或,f,(-,x,)=,f,(,x,),是否恒成立,.,2024/9/30,13,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,知识探究（一）,思考,1:,是否存在函数,f,(,x,),既是奇函数又是偶函数？若存在，这样的函数有何特征？,f,(,x,)=0,思考,2:,一个函数就奇偶性而言有哪几种可能情形？,思考,3:,若,f,(,x,),是定义在,R,上的奇函数，那么,f,(0),的值如何？,f,(0)=0,思考,4:,如果函数,f,(,x,),具有奇偶性,a,为非零常数，那么函数,af,(,x,),，,f,(,ax,),的奇偶性如何？,思考,5:,常数函数 具有奇偶性吗？,2024/9/30,14,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,思考,1:,如果函数,f,(,x,),和,g,(,x,),都是奇函数，那么,f,(,x,)+,g,(,x,),，,f,(,x,)-,g,(,x,),，,f,(,x,),g,(,x,),，,f,(,x,),g,(,x,),的奇偶性如何？,知识探究（二）,思考,2:,如果,f,(,x,),是定义在,R,上的任意一个函数，那么,f,(,x,)+,f,(-,x,),，,f,(,x,)-,f,(-,x,),奇偶性如何？,f,(,x,)+,f,(-,x,),是偶函数,f,(,x,)-,f,(-,x,),是奇函数,思考,3:,二次函数 是偶函数的条,件是什么？,一次函数 是奇函数的条件是什么？,b=0,2024/9/30,15,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,课堂练习,判断下列函数的奇偶性：,2024/9/30,16,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,奇偶函数图象的性质,1,、,奇函数的图象关于原点对称,.,反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么就称这个函数为奇函数,.,2,、,偶函数的图象关于,y,轴对称,.,反过来，如果一个函数的图象关于,y,轴对称，那么就称这个函数为偶函数,.,说明：奇偶函数图象的性质可用于：,a,、,简化函数图象的画法,.,b,、判断函数的奇偶性,2024/9/30,17,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,例,1.,确定函数 的单调区间,.,y,x,o,1,-1,2024/9/30,18,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,例,2.,已知函数,y,=,f,(,x,),是偶函数，它在,y,轴右边的图象如下图，画出在,y,轴左边的图象,.,x,y,0,解：画法略,相等,2024/9/30,19,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,x,y,0,相等,例,2.,已知函数,y,=,f,(,x,),是奇函数，它在,y,轴右边的图象如下图，画出在,y,轴左边的图象,.,2024/9/30,20,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,例,3.,已知,f,(,x,),是奇函数，且当 时，,求当 时,f,(,x,),的解析式,.,例,4.,设函数 ，已知 是偶函数，求实数,m,的值,.,m=-4,2024/9/30,21,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,本课小结,1,、两个定义：对于,f,(,x,),定义域内的任意一个,x,如果都有,f,(,x,)=-,f,(,x,),f,(,x,),为奇,函数,如果都有,f,(,x,)=,f,(,x,),f,(,x,),为偶函数,2,、两个性质：,一个函数为奇函数 它的图象关于原点对称,一个函数为偶函数 它的图象关于,y,轴对称,2024/9/30,22,重庆市万州高级中学 曾国荣 ,
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