专题一-数学思想方法汇总课件

1,Best Wish For You,信心源自于努力,1Best Wish For You 信心源自于努力,2,专题一 数学思想方法,2专题一 数学思想方法,3,3,4,数学思想方法是指现实世界的空间形式和,数量关系反映到人的意识中，经过思维活动产生的结果，是对数学事实与数学理论的本质认识,.,数学思想：是对数学内容的进一步提炼和概括，是对数学知识的本质认识，是对数学规律的理性认识，带有普遍的指导意义，是建立数学模型和用数学解决问题的指导思想,.,数学方法：是指从数学角度提出问题、解决问题过程中所采用的各种方式、手段、途径等,.,4 数学思想方法是指现实世界的空间形式和,5,数学思想和数学方法是紧密联系的，两者的本质相同，只是站在不同的角度看问题，故常混称为“数学思想方法”,.,初中数学中的主要数学思想方法有：,5 数学思想和数学方法是紧密联系的，两者的本质相同，只,6,化归与转化思想；,方程与函数思想；,数形结合思想；,分类讨论思想；,统计思想；,整体思想；,消元法；,配方法；,待定系数法等,.,6 化归与转化思想；,7,7,8,分类讨论思想方法,分类讨论思想是指当数学问题不宜统一方法处理时，我们常常根据研究对象性质的差异，按照一定的分类方法或标准,将问题分为全而不重，广而不漏的若干类，然后逐类分别进行讨论，再把结论汇总，得出问题的答案的思想,.,8分类讨论思想方法分类讨论思想是指当数学问题不宜统一方法处理,9,分类原则：,(1),分类中的每一部分都是相互独立的；,(2),一次分类必须是同一个标准；,(3),分类讨论应逐级进行,.,分类思想有利于完整地考虑问题，化整为零地解决问题,.,分类讨论问题常与开放探索型问题综合在一起，贯穿于代数、几何的各个数学知识板块，不论是在分类中探究，还是在探究中分类，都需有扎实的基础知识和灵活的思维方式，对问题进行全面衡量、统筹兼顾，切忌以偏概全,.,9分类原则：,10,【,例,1】(2010,常州中考,),如图，,已知二次函数,y=ax,2,+bx+3,的图象,与,x,轴相交于点,A,、,C,，与,y,轴相交,于点,B,，,A( 0),，且,AOBBOC.,10【例1】(2010常州中考)如图，,11,(1),求,C,点坐标、,ABC,的度数及二次函数,y=ax,2,+bx+3,的关系式；,(2),在线段,AC,上是否存在点,M(m,，,0).,使得以线段,BM,为直径的圆与边,BC,交于,P,点,(,与点,B,不同,),，且以点,P,、,C,、,O,为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出,m,的值；若不存在，请说明理由,.,11(1)求C点坐标、ABC的度数及二次函数y=ax2+b,12,【,思路点拨,】,12【思路点拨】,13,【,自主解答,】,(1),由题意，得,B(0,3).,AOBBOC,，,OAB=OBC,，,OC=4,，,C(4,0).,OAB+OBA=90,，,OBC+OBA=90.ABC=90.,y=ax,2,+bx+3,的图象经过点,A( 0),，,C(4,0),，,13【自主解答】(1)由题意，得B(0,3).,14,14,15,(2),存在,.,如图,1,，当,CP=CO,时，,点,P,在以,BM,为直径的圆上，,BM,为圆的直径,.,BPM=90,，,PMAB.,CPMCBA.,所以,CM=5.,m=-1.,15(2)存在.如图1，当CP=CO时，,16,如图,2,，当,PC=PO,时，点,P,在,OC,垂,直平分线上，所以,PC=PO=PB,，所以,PC= BC=2.5.,由,CPMCBA,，得,当,OC=OP,时，,M,点不在线段,AC,上,.,综上所述，,m,的值为 或,-1.,16如图2，当PC=PO时，点P在OC垂,17,1.(2011,浙江中考,),解关于,x,的不等式组：,171.(2011浙江中考)解关于x的不等式组：,18,【,解析,】,由得,(a-1)x,2a-3,由得,x,当,a=1,时，由得,-2,-3,成立,x,当,a,1,时，,x,当,1,a,此时不等式组的解是,x,18【解析】 由得(a,19,当,a, 时，,此时不等式组的解是,x,当,a,1,时，不等式组的解集为,a,1,，所以,a-1,0,，,所以不等式组的解为 ,x,综上所述：当,1a,时，不等式组的解集是,x,当,a, 时，不等式组的解集是,x,当,a,1,时，不等式组的解集为,19当a 时，,20,数形结合思想,数形结合思想是指把问题中的数量关系与形象直观的几何图形有机地结合起来，并充分利用这种结合寻找解题的思路，使问题得到解决的思想方法,.,在分析问题的过程中，注意把数和形结合起来考查，根据问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获取简便易行的方法,.,20数形结合思想数形结合思想是指把问题中的数量关系与形象直观,21,数形结合思想方法是初中数学中一种重要的思想方法,.,数是形的抽象概括，形是数的直观表现，用数形结合的思想解题可分两类：一是利用几何图形的直观表示数的问题，它常借用数轴、函数图象等；二是运用数量关系来研究几何图形问题，常需要建立方程,(,组,),或建立函数关系式等,.,21数形结合思想方法是初中数学中一种重要的思想方法.数是形的,22,【,例,2】(2010,曲靖中考,),如图，在平,面直角坐标系,xOy,中，抛物线,y=x,2,向左,平移,1,个单位，再向下平移,4,个单位，,得到抛物线,y=(x-h),2,+k,所得抛物线与,x,轴交于,A,、,B,两点,(,点,A,在点,B,的左边,),与,y,轴交于点,C,，顶点为,D.,22【例2】(2010曲靖中考)如图，在平,23,(1),求,h,、,k,的值；,(2),判断,ACD,的形状，并说明理由；,(3),在线段,AC,上是否存在点,M,，使,AOM,与,ABC,相似,.,若存在，求出点,M,的坐标；若不存在，说明理由,.,23(1)求h、k的值；,24,【,思路点拨,】,24【思路点拨】,25,【,自主解答,】,(1)y=x,2,的顶点坐标为,(0,0),y=(x-h),2,+k,的顶点坐标为,D(-1,-4),h=-1,k=-4.,(2),由,(1),得,y=(x+1),2,-4.,当,y=0,时,(x+1),2,-4=0,x,1,=-3,x,2,=1,A(-3,0),B(1,0).,当,x=0,时,y=(x+1),2,-4=(0+1),2,-4=-3,C,点坐标为,(0,，,-3).,又因为顶点坐标,D(-1,-4),25【自主解答】(1)y=x2的顶点坐标为(0,0),26,作出抛物线的对称轴,x=-1,交,x,轴于点,E.,作,DFy,轴交,y,轴于点,F.,在,RtAED,中，,AD,2,=2,2,+4,2,=20,；,在,RtAOC,中，,AC,2,=3,2,+3,2,=18,；,在,RtCFD,中，,CD,2,=1,2,+1,2,=2,；,AC,2,+CD,2,=AD,2,，,ACD,是直角三角形,.,26作出抛物线的对称轴x=-1交x轴于点E.,27,(3),存在,.,由,(2),知，,AOC,为等腰直角三角形，,BAC=45,在,AC,上取点,M,，,连接,OM,，过,M,点作,MGAB,于点,G,AC=,若,AOMABC,则,MGAB,AG,2,+MG,2,=AM,2,27(3)存在.,28,28,29,若,AOMACB,，则,OG=AO-AG=3-2=1.,M,点在第三象限，,M(-1,，,-2).,综上、所述，存在点,M,使,AOM,与,ABC,相似，且这样的点,有两个，其坐标分别为,( ),(-1,-2).,29若AOMACB，则,30,2.(2010,十堰中考,),如图，点,C,、,D,是以,线段,AB,为公共弦的两条圆弧的中点，,AB=4,，,点,E,、,F,分别是线段,CD,、,AB,上的动点，设,AF=x,，,AE,2,-FE,2,=y,则能表示,y,与,x,的函数关系的图象是,( ),302.(2010十堰中考)如图，点C、D是以,31,【,解析,】,选,C.,延长,CD,交,AB,于点,G,，,则,CGAB,，,AG=BG=2,，,AE,2,-FE,2,=EG,2,+AG,2,-(EG,2,+FG,2,),=4-FG,2,=4-(2-x),2,=-x,2,+4x,y=-x,2,+4x.,且根据题意知,x0,y0.,故选,C.,31【解析】选C.延长CD交AB于点G，,32,3.(2010,成都中考,),如图，在,ABC,中，,B=90,AB=12 mm,BC=24 mm,动点,P,从,点,A,开始沿边,AB,向,B,以,2 mm/s,的速度移动,(,不与点,B,重合,),，动点,Q,从点,B,开始沿边,BC,向,C,以,4 mm/s,的速度移动,(,不与点,C,重合,).,如果,P,、,Q,分别从,A,、,B,同时出发，那么经过,_,秒,四边形,APQC,的面积最小,.,323.(2010成都中考)如图，在ABC中，,33,【,解析,】,设,P,、,Q,分别从,A,、,B,同时出发，那么经过,t,秒，四边形,APQC,的面积为,S,，,则,S= AB,BC- BP,BQ,= 1224- (12-2t),4t,S=4t,2,-24t+144,=4(t-3),2,+108,当,t=3 s,时，四边形,APQC,的面积最小,.,答案：,3,33【解析】设P、Q分别从A、B同时出发，那么经过t秒，四边,34,4.(2010,临沂中考,),如图，二次函数,y=-x,2,+ax+b,的图象与,x,轴交于,A(-,，,0),、,B(2,，,0),两点，且与,y,轴交于点,C,；,344.(2010临沂中考)如图，二次函数,35,(1),求该抛物线的解析式，并判断,ABC,的形状；,(2),在,x,轴上方的抛物线上有一点,D,，且以,A,、,C,、,D,、,B,四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出,D,点的坐标；,(3),在此抛物线上是否存在点,P,，使得以,A,、,C,、,B,、,P,四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出,P,点的坐标；若不存在，说明理由,.,35(1)求该抛物线的解析式，并判断ABC的形状；,36,【,解析,】,(1),根据题意，将,A(-,，,0),，,B(2,，,0),代入,y=-x,2,+ax+b,中，,得,解这个方程组，得,a= b=1,该抛物线的解析式为,y=-x,2,+ x+1,当,x=0,时，,y=1,点,C,的坐标为,(0,1),在,AOC,中，,36【解析】(1)根据题意，将A(- ，0)，B(2，0),37,在,BOC,中，,ABC,是直角三角形,.,37,38,(2),点,D,的坐标为,( 1).,(3),存在,.,由,(1),知，,ACBC.,若以,BC,为底边，则,BCAP,，,如图,1,所示，可求得直线,BC,的解析式为,y= +1,直线,AP,可以看作是由直线,BC,平移得到的，所以设直线,AP,的解析式为,y= +b,把点,A( 0),代入直线,AP,的解析式，求得,b=,38(2)点D的坐标为( 1).,39,直线,AP,的解析式为,y=,点,P,既在抛物线上，又在直线,AP,上，,点,P,的纵坐标相等，即,解得,39直线AP的解析式为y=,40,若以,AC,为底边，则,BPAC,，如图,2,所示,.,可求得直线,AC,的解析式为,y=2x+1.,直线,BP,可以看作是由直线,AC,平移得到的,所以设直线,BP,的解析式为,y=2x+b,，,把点,B(2,0),代入直线,BP,的解析式，求得,b=-4,直线,BP,的解析式为,y=2x-4.,点,P,既在抛物线上，又在直线,BP,上，,点,P,的纵坐标相等,40若以AC为底边，则BPAC，如图2所示.,41,即,-x,2,+ +1=2x-4,解得,x,1,= x,2,=2(,舍去,),当,x=,时，,y=-9,，,点,P,的坐标为,( ,-9).,综上所述，满足题目条件的点,P,为,( ),或,( ).,41即-x2+ +1=2x-4,42,化归转化思想,化归思想是一种最基本的数学思想，用于解决问题时的基本思路是化未知为已知，把复杂的问题简单化，把生疏的问题熟悉化，把非常规问题化为常规问题，把实际问题数学化，实现不同的数学问题间的相互转化，这也体现了把不易解决的问题转化为有章可循，容易解决的问题的思想,.,42化归转化思想化归思想是一种最基本的数学思想，用于解决问题,43,【,例,3】(2009,泉州中考,),如图，等腰梯形花圃,ABCD,的底边,AD,靠墙，另三边用长为,40,米的铁栏杆围成，设该花圃的腰,AB,的长为,x,米,.,43【例3】(2009泉州中考)如图，等腰梯形花圃ABCD,44,(1),请求出底边,BC,的长,(,用含,x,的代数式表示,),；,(2),若,BAD=60,，该花圃的面积为,S,米,2,.,求,S,与,x,之间的函数关系式,(,要指出自变量,x,的取值范围,),，并,求当,S=,时,x,的值；,如果墙长为,24,米，试问,S,有最大值还是最小值？这个值是多,少？,44(1)请求出底边BC的长(用含x的代数式表示)；,45,【,思路点拨,】,45【思路点拨】,46,【,自主解答,】,(1)AB=CD=x,米，,BC=40-AB-CD=(40-2x),米,.,(2),如图，过点,B,、,C,分别作,BEAD,于,E,，,CFAD,于,F,，在,RtABE,中，,AB=x,，,BAE=60,，,AE= x,，,BE=,同理,DF= x,CF=,又,EF=BC=40-2x,AD=AE+EF+DF= x+40-2x+ x=40-x,46【自主解答】(1)AB=CD=x米，,47,解得：,x,1,=6,，,x,2,= (,舍去,),，,x=6.,47解得：x1=6，x2= (舍去)，,48,由题意，得,40-x24,，解得,x16,结合得,16x,20.,由得，,函数图象为开口向下的抛物线的一段，,其对称轴为,x=,16, 由上图可知，,48由题意，得40-x24，解得x16,49,当,16x,20,时，,S,随,x,的增大而减小，,当,x=16,时，,S,取得最大值,.,此时，,S,最大值,=,49当16x20时，S随x的增大而减小，,50,5.,如图，,ABCD,是一矩形纸片，,E,是,AB,上,的一点，且,BEEA=53,EC=,把,BCE,沿折痕,EC,向上翻折，若点,B,恰好,落在,AD,边上，设这个点是,F,，以点,A,为,原点，以直线,AD,为,x,轴，以直线,BA,为,y,轴建立平面直角坐标系，则过点,F,、点,C,的一次函数解析式为,_.,505.如图，ABCD是一矩形纸片，E是AB上,51,【,解析,】,BEEA=53,BE=EF,EFEA=53,AFAE=43.,AEF=DFC,AEFDFC,设,BE=5x,则,AF=4x,CD=8x,FD=6x,BC=10x,又,CE=,由勾股定理得,x=3,所以,BC=30,AF=12,CD=24,，,F(12,0),C(30,-24),CF,的解析式为,y= +16.,答案：,y= +16,51【解析】BEEA=53,BE=EF,EFEA=5,52,6.(2011,凉山中考,),我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例,.,如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是,1,，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了,(a+b),n,(n,为正整数,),的展开式,(,按,a,的次数由大到小的顺序排列,),的系数规律,.,例如，在三角形中第三行的三个数,1,，,2,，,1,，恰好对应,(a+b),2,=a,2,+2ab+b,2,展开式中的系数；第四行的四个数,1,，,3,，,3,，,1,，恰好对应着,(a+b),3,=a,3,+3a,2,b+3ab,2,+b,3,展开式中的系数等等,.,526.(2011凉山中考)我国古代数学的许多发现都曾位居,53,(1),根据上面的规律，写出,(a+b),5,的展开式,.,(2),利用上面的规律计算：,2,5,-52,4,+102,3,-102,2,+52-1.,53(1)根据上面的规律，写出(a+b)5的展开式.,54,【,解析,】,(1)(a+b),5,=a,5,+5a,4,b+10a,3,b,2,+10a,2,b,3,+5ab,4,+b,5,(2),原式,=2,5,+52,4,(-1)+102,3,(-1),2,+102,2,(-1),3,+52(-1),4,+(-1),5,=(2-1),5,=1.,54【解析】(1)(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2,55,7.(2010,威海中考,)(1),探究新知：,如图，已知,ADBC,AD=BC,，点,M,，,N,是直线,CD,上任意两点,.,求证：,ABM,与,ABN,的面积相等,.,如图，已知,ADBE,AD=BE,ABCD,EF,点,M,是直线,CD,上任一点，点,G,是直线,EF,上任一点,.,试判断,ABM,与,ABG,的面,积是否相等，并说明理由,.,557.(2010威海中考)(1)探究新知：,56,(2),结论应用：,如图，抛物线,y=ax,2,+bx+c,的顶点为,C(1,4),交,x,轴于点,A(3,0),交,y,轴于,点,D.,试探究在抛物线,y=ax,2,+bx+c,上,是否存在除点,C,以外的点,E,，使得,ADE,与,ACD,的面积相等？若存在，请求出此时点,E,的坐标；若不存在，请说明理由,.,(,友情提示：解答本问题过程中，可以直接使用“探究新知”中的结论,.),56(2)结论应用：,57,【,解析,】,(1),分别过点,M,N,作,MEAB,，,NFAB,垂足分别为点,E,F.,ADBC,AD=BC,四边形,ABCD,为平行四边形,.,ABCD.ME=NF.,S,ABM,= AB,ME,S,ABN,= AB,NF,S,ABM,=S,ABN,.,57【解析】(1)分别过点M,N作MEAB，,58,相等,.,理由如下：分别过点,D,E,作,DHAB,EKAB,垂足分别为,H,K.,则,DHA=EKB=90.,ADBE,DAH=EBK.,AD=BE,DAHEBK.,DH=EK,58相等.理由如下：分别过点D,E作DHAB,EKAB,59,CDABEF,，,S,ABM,= AB,DH,S,ABG,= AB,EK,S,ABM,=S,ABG,.,59CDABEF，,60,(2),存在,.,因为抛物线的顶点坐标是,C(1,4),所以，可设抛物线的表达式为,y=a(x-1),2,+4.,又因为抛物线经过点,A(3,0),将其坐标代入上式，得,0,a(3-1),2,+4,解得,a=-1.,该抛物线的表达式为,y=-(x-1),2,+4,即,y=-x,2,+2x+3.,D,点坐标为,(0,，,3).,60(2)存在.,61,设直线,AD,的表达式为,y=kx+3,，代入点,A,的坐标，得,0=3k+3,，解得,k=-1.,直线,AD,的表达式为,y=-x+3.,过,C,点作,CGx,轴，垂足为,G,，交,AD,于点,H,，则,H,点的纵坐标为,-1+3,2.,CH=CG-HG=4-2=2.,61设直线AD的表达式为y=kx+3，代入点A的坐标，得0=,62,设点,E,的横坐标为,m,，,则点,E,的纵坐标为,-m,2,+2m+3.,过,E,点作,EFx,轴，垂足为,F,，交,AD,于点,P,，则点,P,的纵坐标为,3-m,，,EFCG.,由,(1),可知：若,EP=CH,则,ADE,与,ADC,的面积相等,.,62设点E的横坐标为m，,63,(a),若,E,点在直线,AD,的上方,(,如图,),，,则,PF,3-m,EF=-m,2,+2m+3.,EP=EF-PF=-m,2,+2m+3-(3-m)=-m,2,+3m.,-m,2,+3m=2.,解得,m,1,=2,m,2,=1.,当,m=2,时，,PF=3-2=1,EF=3.,E,点坐标为,(2,，,3).,同理当,m=1,时，,E,点坐标为,(1,，,4),，与,C,点重合，故舍去,.,63(a)若E点在直线AD的上方(如图)，,64,(b),若,E,点在直线,AD,的下方,(,如图,),，,则,PE=(3-m)-(-m,2,+2m+3)=m,2,-3m,m,2,-3m=2,解得,64(b)若E点在直线AD的下方(如图)，,65,当,m=,时，,E,点的纵坐标为,当,m=,时，,E,点的纵坐标为,在抛物线上存在除点,C,以外的点,E,，使得,ADE,与,ACD,的面,积相等，,E,点的坐标为,E,1,(2,3);,65当m= 时，E点的纵坐标为,66,诲人不倦,悟性的高低取决于有无悟,“,心,”,其实,人与人的差别就在于你是否去思考,去发现，去总结。,教师寄语,再见,下课了,!,66诲人不倦悟性的高低取决于有无悟“心”,其实,人与人的差别,67,祝你成功！,67 祝你成功！,