一维波动方程

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2 一维波动方程,*,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,一维波动方程,偏微分方程教程 第四章 双曲型方程,2,一维波动方程,2.1.齐次波动方程的Cauchy问题和特征线法,最简单的一维齐次双曲型方程是关于无界弦的自由振动问题,在忽略其边界的影响时，它可归结为如下的定解问题,(2.1),满足初始条件,(2.2),其中 是一个正常数，函数 是定义在区间 上的已知函数.,2,2 一维波动方程,特征线法是求解一维双曲型方程Cauchy问题最基本的方法，这个方法的实质是将方程沿特征线积分.由第三章的特征概念知,方程(2.1)的特征方程是,由此求得特征曲线为,其中 为任意常数.,为了将方程(2.1)化成第一标准型,引入自变量变换,即把特征线当作坐标线，则方程(2.1)变成,(2.3),偏微分方程教程 第四章 双曲型方程,3,2 一维波动方程,偏微分方程教程 第四章 双曲型方程,改写(2.3)为,可以看出 不依赖于 变量,于是有,其中 是 的任意连续可微函数,再对 积分,得到,若令 ,可得 其中 和 都是任意的二阶连续可微函数.回到原来的变量 和 ,于是波动方程(2.1)的通解为,(2.4),4,2 一维波动方程,偏微分方程教程 第四章 双曲型方程,现在我们利用初始条件(2.2)来确定任意函数 和 ,由等式(2.4)有,对等式(2.6)积分,得出,其中是 任意常数.由等式(2.5)和(2.7)解出和为,代入(2.4),我们得到,这个公式称为Cauchy问题的,达朗贝尔(DAlembert)公式,.,(2.5),(2.6),(2.7),5,2 一维波动方程,偏微分方程教程 第四章 双曲型方程,到目前为止,表达式(2.8)还只能说是Cauchy问题(2.1),(2.2)的,形式解,.为了使它确实是Cauchy问题(2.1),(2.2)的解,我们需要对初值 加上一定的条件.,定理4.3,若 ,则由DAlembert公式(2.8)表示的函数 是Cauchy问题(2.1),(2.2)解.,证明留作习题，请读者自己完成.,下面我们讨论Cauchy问题(2.1),(2.2)解的,稳定性,.,定理4.4,假设对任意给定 的,总可找到这样的 ,当初始数据 与 满足不等式,时,则与之相对应的Cauchy问题的解 与 满足,6,2 一维波动方程,偏微分方程教程 第四章 双曲型方程,证:,只要取 即可.,综上所述，Cauchy问题(2.1),(2.2)的解是适定的.,另一方面，若将方程(2.1)写成如下算子形式,且令 ,则可以得到如下一阶线性偏微分方程组,(2.9),按照第二章关于一阶线性偏微分方程的求解，我们也可以获得DAlembert公式(2.8).,7,2 一维波动方程,偏微分方程教程 第四章 双曲型方程,上面对弦振动方程求解的特征线法,亦适用于类似方程的Cauchy问题.,例1,求解Cauchy问题,(2.10),其中 和 都是已知函数.,解:,容易求出(2.10)中的方程的特征曲线,作自变量变换,8,2 一维波动方程,偏微分方程教程 第四章 双曲型方程,就可把(2.10)中的方程化成标准型,为了求出方程(2.11)的通解,我们令,则方程(2.11)化为,若把 看作参数,方程(2.13)就是以 为自变量的线性常微分方程,其通解可写为,其中 是 的任意函数.将此表达式代入方程(2.12),得,(2.13),(2.11),(2.12),9,2 一维波动方程,偏微分方程教程 第四章 双曲型方程,再对 求积分,便得方程(2.11)的通解,其中 是 的任意函数.若令 ,上式可写成,其中 和 都是其变元的任意连续可微函数.变回到原来的变量 和 ,便得到方程(2.10)的通解为,(2.14),下面我们利用(2.10)中的初始条件来确定任意函数 和 .首先,容易得到下面两个等式：,(2.15),10,2 一维波动方程,偏微分方程教程第四章双曲型方程,对 微分(2.15),得,用 乘以上式再与(2.16)相加,得,由此推得,其中 为任意常数.再将 的表达式代入(2.15),得,(2.16),11,2 一维波动方程,偏微分方程教程第四章双曲型方程,于是Cauchy问题的解可写成,利用分部积分法,它又可化为,至于在什么条件下,这个函数才是Cauchy问题(2.10)的解以及解的惟一性和稳定性问题,这里就不详细讨论了.,12,2 一维波动方程,