信息光学常用函数傅立叶变换相关卷积线性系统二维光场

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,信息光学常用函数傅立叶变换相关卷积线性系统二维光场,Sinc,函数,标准型：,x,sinc(,x,),0,1,-1,1,1,x,a,+,x,0,-a,+,x,0,x,0,特点,:,最大值,sinc(0)=1,；,lim sinc(x)=0,x,曲线下面积,S=1,；,0,点位置,x=,n (n=1, 2, 3,),等间隔；,偶函数,Sinc,函数,数学上,sinc函数和rect函数互为傅里叶变换,物理上,单一矩形脉冲rect(t)的频谱是sinc函数;单缝的夫琅和费衍射把戏是sinc函数,Sinc,函数的重要性,:,二维,sinc,函数,:,sinc(,x,)sinc(,y,),三角形函数,底宽,: 2,最大值：,tri(0)=1,曲线下面积,:,S,=1,底宽,:2|,a,|,面积,:,S,= |,a,|,又写成：,L,(,x,),南京邮电大学 光电工程学院 赵新彦,符号函数 Signum ,x,0,1,Sgn(,x,),-1,用途：,代表“ ”相移器、反相器,阶跃函数 Step Function ,x,0,1,Step(,x,),用途：,开关；无穷大半平面屏,与符号函数关系,:,Sgn(,x,)=2 Step (,x,)-1,圆柱域函数 Circular Function ,特点：circ函数是不可别离变量的二元函数,用途：描述无穷大不透明屏上半径为1的圆孔的透过率,函数,函数,-,性质,筛选性质,函数是偶函数,比例变换性质,梳状函数Comb Function,傅里叶1768-1830 ,9岁父母双亡， 被教堂收养。12岁由主教送入地方军事学校读书。17岁回乡教数学。26岁到巴黎，成为高等师范学校的首批学员，次年到巴黎综合工科学校执教。30岁随拿破仑远征埃及时任军中文书和埃及研究院秘书，33岁回国后任伊泽尔省地方长官。51岁中选为科学院院士，54岁任该院终身秘书，后又任法兰西学院终身秘书和理工科大学校务委员会主席。,1822年?热的分析理论?中解决了热在非均匀加热的固体中分布传播问题,1807年?热的传播?推导出热传导方程 ，提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。,法国数学家、物理学家,在你的理解中，一段音乐是什么呢？,频域,时域：,频域：,你眼中看似落叶纷飞变化无常的世界，实际只是躺在上帝怀中一份早已谱好的乐章。,傅里叶级数,傅里叶级数,周期为 的函数 可以展开为,三角级数,由,正弦和余弦函数线性组合成的无穷级数,理论意义：,把复杂的周期函数用简单的三角级数表示；,用三角函数之和近似表示复杂的周期函数。,指数傅里叶级数,1.,傅里叶变换,正变换,逆变换,傅里叶变换,把非周期函数分解为复指数函数在整个连续频率区间上的积分和,极坐标下的傅里叶变换,正变换,逆变换,傅里叶,-,贝塞耳变换,傅里叶变换,广义傅里叶变换,周期函数：1. 只有有限个极值点和连续点，,2. 绝对可积,非周期函数：,延拓为周期函数，,光学中不少有用的函数，如：脉冲函数、阶跃函数等，不能满足以上条件，因此必须把以上傅里叶变换定义推广，才能求出其傅氏变换式,函数,不存在狭义傅里叶变换，但有：,广义傅里叶变换,极限意义下的傅里叶变换和,函数的傅里叶变换,1极限意义下的傅里叶变换,且：,那么：,2 函数的傅里叶变换,广义傅里叶变换,根据,函数的定义式，可直接求出它的傅里叶变换,广义傅里叶变换,2 广义傅里叶变换举例,阶跃函数：,广义傅里叶变换,2 广义傅里叶变换举例,梳状函数：,特例：,原函数,频谱函数,缝函数,二维矩形函数,高斯函数,函数,(,x,),1,常数,1,圆函数,傅里叶变换对,傅里叶变换的意义,数学意义,:,从一个函数空间,(,集合,),到另一个函数空间,(,集合,),的映射；,f(x),称为变换的原函数,(,相当于自变量,),，,F(),称为象函数。,应用意义,:,把任意函数分解为简单周期函数之和，,F(),的自变量为频率，函数值为对应的振幅。,物理意义：,把一般运动分解为简谐运动的叠加；,把一般电磁波,(,光,),分解为单色电磁波,(,光,),的叠加。,傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种对待问题的角度：一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。,傅里叶变换的意义,时阈信号：,将信号从时间角度的分割和叠加。,傅里叶变换：,将信号从频率的角度叠加。,傅里叶变换的意义,傅立叶变换就是把一个信号，分解成无数的正弦波或者余弦波信号。也就是说，用无数的正弦波，可以合成任何所需要的信号。,傅里叶变换简单理解就是把看似杂乱无章的信号考虑成由一定振幅、相位、频率的根本正弦余弦信号组合而成。傅里叶变换的目的就是找出这些根本正弦余弦信号中振幅较大能量较高信号对应的频率，从而找出杂乱无章的信号中的主要振动频率特点。,例如：减速机故障时，通过傅里叶变换做频谱分析，根据各级齿轮转速、齿数与杂音频谱中振幅大的比照，可以快速判断哪级齿轮损伤。,在光学信息处理中，光学系统所传递和处理的信息是随空间变化的函数。,一幅图像是一种光的强度和颜色按空间的分布，这种分布的特征可用空间频率说明。把图像看作是由各种方向、各种间距的线条组成。,傅里叶变换与光学,例：,振幅型透射光栅的傅里叶级数展开,光栅常数：,透射率,：,-,空间周期为,d,的函数,-,空间位置,x,有确定的函数关系,傅里叶变换与光学,0,其他,展开为傅里叶级数,空间频率：单位长度内变化的次数。,傅里叶变换与光学,表示一个周期为,d,的黑白光栅可看成由频率 及,许多正弦光栅（强度按正弦分布）组成。,令,以一束单色平行光照射光栅，在其后的透镜焦平面上得到的光强分布与该光栅本身的透射函数的傅里叶功率谱一样。,在焦面上的亮点代表直流成分，,每一对亮点代表光栅的一个空间频率,。,傅里叶变换与光学,卷 积,rect(,x,),*,rect(,x,),-1 0 1,g,(,x),x,1,1.,画出 二个,rect(,t,),2.,将,rect(,t,),折叠后不变,;,3.,将一个,rect(-,t,),移位至给定的,x,rect,-,(,t,-,x,)= rect(,t,-,x,);,4.,二者相乘,;,乘积曲线下面积的值 即为,g,(,x,).,rect(,t,),1,t,-1/2,0,1/2,rect(,t,),1,t,-1/2,0,1/2,x,-1/2,x,x,+1/2,rect(,t,),1,t,-1/2,0,1/2,翻转、平移、相乘、积分,平滑：被积函数经过卷积运算，其微细构造在一定程度上被消除，函数本身的起伏变得平缓圆滑。,卷 积 效 应,展宽：,一般来说，卷积的宽度等于被卷积函数的宽度之和。,1.,交换律,2.,分配律,3.,结合律,卷 积 运算定律,即任意函数与,函数,卷积后不变,由,1.,-,函数是偶函数, 2.,-,函数的筛选性质,有,:,任意函数与脉冲函数卷积的结果,是将该函数平移到脉冲所在的位置,f(x)与脉冲阵列的卷积可在每个脉冲位置产生f(x)的函数波形,用于描述各种重复性的构造.,包含,函数的卷积,-,函数的移位,包含,函数的卷积,*,=,l,d,x,y,t,(,x,y,),d,(,x,+,d,/2),+,d,(,x,-,d,/2 ) ,=,*,x,0,d,l,x,y,y,相 关 运 算correlation,1.,互相关,cross correlation,与卷积的关系：,1. 当且仅当 f*(-x)=f(x) ，相关才和卷积一样。,一般情况下,相关运算与卷积运算的区别:,f(x)要取复共轭；运算时 f(x) 不需折叠,2.,互相关不满足交换律,相 关 运 算correlation,2.,自相关,auto-correlation,互相关在两函数有相似性时出现峰值，,自相关那么在位移到重叠时出现极大值,自相关与互相关的比较,互相关,自相关,线性系统分析,线性平移不变系统,Linear Shift-Invariant System,输入和输出的变换关系不随空间位置而变化,H,仅依赖于观察点与脉冲输入点坐标在,x,和,y,方向的相对间距 和 ，与坐标本身的绝对数值无关。,9/30/2024,那么此线性系统称为时不变系统. 系统的性质不随所考察的时间而变, 是稳定的系统。时间轴平移了, 响应也随之平移同样的时间,即具有平移不变性.,t,t,0,d,(,t-,t,),t,0,d,(,t,),例：,时不变,(,一维,),系统,: RC,电路,t,h,(,t,),0,t,h,(,t-,t,),t,0,实际物理系统大多可近似为平移不变系统,.,线性系统分析,线性平移不变系统,9/30/2024,线性系统分析,线性不变系统的传递函数,通过输入函数与脉冲响应函数的卷积求得输出函数,空域：,傅里叶变换,求输入函数与脉冲响应函数两者各自频谱密度的乘积，再对该乘积取逆傅里叶变换求得输出函数。,频域：,空域,频域,9/30/2024,线性系统分析,线性不变系统的传递函数,线性平移不变系统的,传递函数,输出函数中所有基元成分的线性叠加即合成输出函数。,表征系统对输入函数中不同频率的基元成分的传递能力；,其,模,改变输入函数各种频率基元成分的模；,其,辐角,改变基元成分的初位相；,9/30/2024,线性系统分析,线性不变系统的本征函数,对于线性不变系统，输入某一函数，如果相应的输出函数仅等于输入函数与一个,复常数,的乘积，此,输入函数,就是此系统的,本征函数,。,例,输入函数,：,那么 输出函数：,本征函数,通过系统时不改变函数形式，仅被衰减或放大，或产生相移。,9/30/2024,二维光场分析,单色光波场的复振幅表示,单色光波场中某点,P,在,t,时刻的光振动：,振幅,初相位,时间频率,Define,：,复振幅,光强：,光振动的空间分布完全由复振幅随空间位置的变化确定,空间位置,时间,9/30/2024,二维光场分析,球面波的复振幅,P(x,y,z),点离开光源的距离,r,1,处的振幅,波数,9/30/2024,二维光场分析,球面波的复振幅,当：,常相位因子,二次相位因子,等相位线方程：,9/30/2024,二维光场分析,平面波的复振幅,常量振幅,传播方向的方向余弦,在垂直于,z,轴的,xy,平面：,常量位相因子,xy,平面上的复振幅分布：,9/30/2024,二维光场分析,平面波的复振幅,等相位线方程：,以,2,为周期的周期分布的平行斜线,9/30/2024,二维光场分析,平面波的空间频率,波矢位于,x,0,z,平面：,xy,平面上的复振幅分布：,等相位线方程：,复振幅在,xy,平面上空间分布的空间周期：,相位差,2,的相邻等相位线的间距：,9/30/2024,